Uniformly continuous homeomorphisms (Q1295336)

Ein metrischer Raum wird u.c.h.-Raum genannt, wenn alle seine homöomorphen Selbstabbildungen gleichmäßig stetig sind. Das ist wieder eine Verallgemeinerung der Kompaktheit. Einfache nichtkompakte Beispiele sind die Folge \(1/n\), \(n=1,2,\dots\), sowie jedes offene beschränkte Intervall in \(\mathbb{R}\), beide in der natürlichen Metrik. Als notwendige und hinreichende Bedingung wird die gefunden, daß jeder Selbsthomöomorphismus eine stetige Fortsetzung auf die Smirnov-Kompaktifizierung besitzt. (Der Beweis stützt sich auf den Satz von Lavrentiev.) Einfacher ist der Fall nulldimensionaler Räume; unter diesen sind nur zwei Klassen u.c.h.-Räume, nämlich einerseits die kompakten, andrerseits diejenigen, deren Vervollständigung eine Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist. Als Korollar ergibt sich: \(\mathbb{Q}\) besitzt keine u.c.h.-Metrik. Weitere Ergebnisse betreffen Metriken im \(\mathbb{R}^n\) sowie die analoge Frage für uniforme Räume.