Homotopy theory of finite and locally finite \(T_ 0\) spaces (Q1311334)

Soit \({\mathcal L}_0\) la catégorie des espaces \(T_0\) localement finis et des fonctions continues, et soit \({\mathcal L} {\mathcal C}\) la catégorie des complexes simpliciaux localement finis et des applications simpliciales. Il y a un foncteur \({\mathcal K} : {\mathcal L}_0 \to {\mathcal L} {\mathcal C}\) (dû à \textit{P. Alexandroff} [Mat. Sb. (N.S) 2, 501-518 (1937; Zbl 0018.09105)]) et un foncteur \({\mathcal X} : {\mathcal L} {\mathcal C} \to {\mathcal L}_0\) (dû à \textit{M. C. McCord} [Duke Math. J. 33, 465-474 (1966; Zbl 0142.21503)]). Pour tout complexe simplicial \(K\), \({\mathcal K} {\mathcal X} K\) est la première subdivision barycentrique de \(K\). Les auteurs du présent article définissent l'analogue de la première subdivison barycentrique pour les espaces \(T_0\) localement finis \(X\) par \(X' = {\mathcal X} {\mathcal K}X\). Il y a une application naturelle de \(X'\) dans \(X\). Avec ces ingrédients, ils introduisent un nouveau concept de morphisme entre espaces \(T_0\) finis, et montrent que la catégorie ainsi obtenue est équivalente à la catégorie homotopique des polyèdres compacts.