Monogenic cyclic cubic extensions of the ring of integers of an imaginary quadratic field (Q1312361)

Soit \(A\) un anneau commutatif unifère quelconque dont le groupe des unités est noté \(U(A)\). On sait que s'il existe une extension cyclique cubique monogène \(B=A[x]\), définie par \(X^ 3-aX^ 2-bX- c\), de discriminant \(\delta^ 2\in U^ 2(A)\), alors les \(A\)- automorphismes vérifient \(\sigma(x) =\alpha x^ 2+\beta x+\gamma\) où \(\alpha \delta=a^ 2 +3b\), \(4\alpha^ 3 \delta=u^ 2+27\), \(u=2t+3\), \(t\) étant la trace d'un élément \(w\) de norme 1 [cf. l'auteur, Arch. Math. 41, 243-255 (1983; Zbl 0514.13003)]. Dans un premier temps on donne sept conditions équivalentes à l'existence d'une extension cyclique cubique monogène de discriminant 1 dans le corps quadratique \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\), \(d \neq-3\). Une de ces conditions est l'existence d'une solution à l'équation cubique de Fermat, une autre est l'existence d'une solution à l'équation \(4\alpha^ 3=u^ 2+27\) (dans \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\), les deux fois). Pour que l'anneau \(A_ d\) des entiers d'un corps quadratique imaginaire \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\), \(d\neq -3\), possède une extension cyclique cubique monogène, il faut que l'équation \(4\alpha^ 3=u^ 2+27\) ait une solution. Il en existe une si, et seulement si, il existe \(\alpha \in A_ d\), \(\alpha \neq 3\), tel que si \(\alpha=m \in \mathbb{Z}\), il existe \(y \in \mathbb{Z}\) tel que \(4m^ 3=y^ 2d+27\), si \(\alpha \notin \mathbb{Z}\), il existe \(q \in \mathbb{Z}^*\) et \(s \in \mathbb{N}^*\) tels que \(q^ 2(q-6)^ 2-36q=s^ 2d\). Dans le second cas, si \(q=1,2,\dots,7,8\) (seuls cas pour lesquels \(d\) soit négatif) les solutions \((\alpha,u)\) n'engendrent aucune extension cyclique cubique monogène. Il faut donc que l'équation diophantienne \(4m^ 3=y^ 2d+27\) a une solution (cela exige que 2 soit résidue cubique modulo \(d\) et, si \(d \equiv 5\), 17, 29 ou 33 \(\pmod {36}\) que 3 divise \(h(d))\). Mais ce n'est pas suffisant. Plus précisément on a le résultat suivant: L'anneau \(A_ d\), \(d \neq-3\), des entiers d'un corps quadratique imaginaire possède une extension cyclique cubique monogène si, et seulement si, l'équation diophantienne \(4m^ 3=y^ 2d+27\) a une solution avec \(d \not \equiv 21 \pmod{36}\) et, si \(d \equiv 1 \pmod {12}\), \(m \not\equiv 3 \pmod 9\). Un polynôme répondant à la question est \[ X^ 3-\sqrt dX^ 2-{m-d \over 3} X-{y-3m+d \over 27} \sqrt d \in \mathbb{Z} [\sqrt d] [X] \] où la racine de \(y^ 2\) vérifie \(y \equiv 1 \pmod 6\) si \(d \equiv 5 \pmod {12}\), \(y \equiv 3\) (mod 9 donc 18) si \(d \equiv 33 \pmod {36}\) et \(y \equiv -1\pmod 6\) si \(d \equiv 1 \pmod {12}\) et \(m \equiv 1 \pmod 3\). Les \(A_ d\)-automorphismes sont définis par \[ \sigma (x)=mx^ 2-{y+4m+3 \over 6} \sqrt dx+{yd+6md-4m^ 2+9 \sqrt d \over 18}. \] Et pour tout \(d\) négatif, \(d \neq-3\), \(\mathbb{Z} [\sqrt d]\) n'a pas d'extension cubique monogène.