A nondenumerable system of real numbers linearly independent over \(\mathbb{Q}\) (Q1312699)

Abzählbar unendliche Systeme über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängiger reeller Zahlen sind wohlbekannt. In der vorliegenden Note gibt Verf. ein überabzählbares derartiges System an, das damit die Mächtigkeit einer \(\mathbb{Q}\)-Basis von \(\mathbb{R}\) erreicht und insofern eine Annäherung an das Problem der Hamel-Basen dargestellt. Genauer zeigt er: Sei \(P\) die Menge der Primzahlen und für jedes \(A \subset P\) bezeichne \(N(A)\) die Menge der natürlichen Zahlen, deren sämtliche Primfaktoren zu \(A\) gehören. Zu jedem solchen \(A\) sei die Folge \(S_ A\) definiert durch \(S_ A(j)\) gleich 1 bzw. 0 für \(j \in N(A)\) bzw. \(j \notin N(A)\); der Folge \(S_ A\) wird nun die Folge \(R_ A\) zugeordnet nach der Vorschrift \(R_ A (m(m + 1)/2) : = S_ A (m)\) für \(m = 1,2, \dots\) bzw. \(R_ A(j) : = 0\) für die restlichen natürlichen Zahlen \(j\). Wird schließlich \(r_ A: = \sum^ \infty_{j=1} 2^{-j} R_ A(j)\) gesetzt, so ist \(\{r_ A\mid A \subset P\}\) ein System von der im Titel dieser Note angekündigten Art.