Vom Fundamentalsatz der Algebra zum Satz von Gelfand-Mazur (Q1312704)

Die vorliegende Arbeit liefert einen interessanten, historisch motivierten Streifzug vom Fundamentalsatz der Algebra bis zum Satz von Gelfand-Mazur, in dem manch Bekanntes unter neuen oder ungewohnten Blickwinkeln gesehen wird. Zunächst wird ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra in enger Anlehnung an den 1814 von R. Argand publizierten Beweis gegeben. Mit dem Fundamentalsatz wird die Existenz von Eigenwerten bei \(\mathbb{C}\)-linearen Abbildungen \(\varphi:E \to E\) bewiesen, wobei \(E\) ein endlich dimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{C}\) ist und gezeigt, daß es nur einen echten algebraischen Erweiterungskörper von \(\mathbb{R}\) gibt, nämlich \(\mathbb{C}\). Auf dieser Spur weitergehend, betrachtet der Verfasser endlich- dimensionale, reelle, kommutative Divisionsalgebren \(A\) und beweist den Satz von H. Hopf (1940), der besagt, daß \(A\) höchstens zweidimensional ist und weitergehend, daß \(A\) isomorph zu \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) ist, falls \(A\) sogar ein Einselement besitzt. Als einfaches Korollar wird der bekannte Satz von Gelfand und Mazur gewonnen, der seinerseits wiederum den Fundamentalsatz der Algebra enthält, und damit schließt sich die Kette.