Sum of the reciprocals of the natural numbers without the digit 9 (Q1314953)

Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist die möglichst genaue Berechnung der (konvergenten) Reziprokensumme \(\sum_{m \in M} 1/m\), wobei \(M\) die Menge der natürlichen Zahlen bedeutet, in deren Dezimalentwicklung die Ziffer 9 nicht vorkommt. Die angewandte Methode ist (funktional-) analytisch: Setzt man \(r(x): = \sum^ 8_{i=1} 1/(i+x)\) und definiert den Operator \(A\) auf dem Raum \(C[0,1]\) durch \((Af)(x): = {1 \over 10} \sum^ 8_{j= 0} f({j + x \over 10})\), so genügt \(s(x): = \sum_{m \in M} 1/(m+x)\) in \(x \geq 0\) der Gleichung \(s-As = r\), woraus sich der gesuchte Reihenwert zu \(s(0) = (I-A)^{-1} r(0)\) ermittelt, \(I\) der identische Operator. Zur genäherten Berechnung von \(s(0)\) approximiert der Autor nun \(r(x)\) in zweierlei Weisen auf \([0,1]\) durch Polynome, wobei die Verwendung von Chebyshev-Polynomen die numerisch klar besseren Ergebnisse liefert: Es wird \(s(0) = 22,9206\dots\) auf fast 100 Dezimalstellen genau angegeben. [Es sei angemerkt, daß die Fragen nach Irrationalität oder erst recht Transzendenz der Reihe \(s(0)\) bislang ungelöst sind].