On the geometric relation of twin-points of the triangle (Q1315108)

Einem Grunddreieck \(A_ 1A_ 2A_ 3\) in der reellen euklidischen Ebene \(E^ 2\) werden je drei Dreiecke \(A_ 2A_ 3B_ 1\), \(A_ 3A_ 1B_ 2\), \(A_ 1A_ 2B_ 3\) nach außen bzw. \(A_ 2A_ 3B_ 1'\), \(A_ 3A_ 1B_ 2'\), \(A_ 1A_ 2B_ 3'\) nach innen derart hinzugefügt (aufgesetzt), daß diese ``Aufsatzdreiecke'' bei \(B_ i\) bzw. \(B_ i'\) jeweils gleiche Innenwinkel \(\beta_ i\) \((i=1,2,3)\) besitzen und \(\beta_ 1+\beta_ 2+\beta_ 3=\pi\) gilt. Bekanntlich schneiden dann die 3 Umkreise der außen bzw. innen aufgesetzten Dreiecke einander jeweils in einem Punkt \(Z\) bzw. \(Z'\). Bei variablen \(\beta_ i\) bestimmen diese Paare von ``Zwillingspunkten'' \(Z,Z'\) eine spezielle involutorische Selbstabbildung (Cremona-Transformation 5. Grades) \(\varphi:E^ 2\to E^ 2\). In dieser Note werden die Abbildungsgleichungen von \(\varphi\) erstmals direkt hergeleitet und explicit angegeben; mit ihrer Hilfe werden anschließend zahlreiche Eigenschaften von \(\varphi\) erschlossen (z.B. Fixpunkte, Fixgeraden, Fixkreise und daraus resultierende Gebietseinteilung der Ebene \(E^ 2)\), und es lassen sich überdies gewisse Lücken schließen, die bei den in der Literatur bereits vorliegenden (synthetischen und analytischen) Untersuchungen bisher noch bestanden (z.B. der Sonderfall rechtwinkliger Grunddreiecke). Einen globalen Überblick über die Abbildung \(\varphi\) verschaffen schließlich die computergraphisch erstellten Bilder geeigneter, z.B. auch konzentrischer, Kreise.