Note on idempotents in the group ring of symmetric groups (Q1325229)

Sei \(n\in\mathbb{N}\) und \(A\) der \(\mathbb{C} S_n\)-Rechtsmodul der Polynome über \(\mathbb{C}\) in \(n\) nichtkommutierenden Unbestimmten. Sei \(L\) der Teilmodul der Lie-Elemente von \(A\), \(\mathfrak A\) der der homogenen multilinearen Polynome vom Grad \(n\) und \({\mathfrak L}:=L\cap{\mathfrak A}\). Ein Idempotent \(\varphi\in\mathbb{C} S_n\) heißt Lie-relevant, wenn \(\varphi\mathbb{C} S_n\cong_{\mathbb{C} S_n}{\mathfrak L}\) gilt. Wir zeigen: Satz. Ein Idempotent \(\sum_{\pi\in S_n} c_\pi\pi\in\mathbb{C} S_n\) is genau dann Lie-relevant, wenn für jede Konjugiertenklasse \(C\) von \(S_n\) gilt: \[ \sum_{\pi\in C} c_\pi =\begin{cases} {\mu(d)\over n} &\text{falls \(d|n\) und \((1\cdots n)^{n\over d}\in C\)}\\ 0 &\text{sonst.}\end{cases} \]