Pointwise and locally uniform convergence of series of holomorphic functions. II. (Q1325788)

Angeregt durch eine Frage von Remmert konstruierte G. Schmieder (ibid. 41, 77-80 (1994; Zbl 0804.30003)) eine Polynomfolge \(\{P_ n\}\), welche in \(\mathbb{D}\) konvergiert, und zwar auf \(B\subset \mathbb{D}\) gegen 1 und auf \(\mathbb{D}\backslash B\) gegen 0, wobei \(B= \{z\in \mathbb{D}: | 1+ z|\leq 1\}\). Auf dem zu \(\mathbb{D}\) gehörigen Randbogen von \(B\) kann daher keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen. Die Konstruktion ist elementar, verwendet jedoch Runge's Methode der Polverschiebung. Die vorliegende Arbeit (Teil I) vermeidet dies und geht dafür aus von der Konstruktion einer ganzen Funktion \(g\neq 0\) mit \(| g(\text{re}^{i\varphi})|\leq M_ \varphi\) für \(r\geq 0\) (``richtungsbeschränkt''). Dafür werden mehrere klassische Beispiele angegeben und ein Beispiel von Newman im einzelnen dargestellt. Teil II geht auf die Frage ein, wo bei einer punktweise konvergenten Funktionenfolge Gleichmäßigkeit vorliegt, was schon Osgood und Hartogs-Rosenthal behandelt hatten. Zahlreiche Hinweise zur geschichtlichen Entwicklung der Funktionentheorie.