A new formula of arc length in Euclidean space and its application (Q1327778)

Verf. zeigt, daß die Länge \(| \Lambda|\) eines rektifizierbaren stetigen Kurvenbogens \(\Lambda: x_ i = x_ i(\theta)\) \((\theta \in [0,2\pi])\) des \(\mathbb{R}^ n\) durch \(| \Lambda| = \sup_{\sum^ n_{j = 1} \phi^ 2_ j \leq 1, \phi_ j \in C([0,2\pi])}\biggl(\sum^ n_{j = 1} \dot x_ j[\phi_ j]\biggr)\) dargestellt werden kann, wobei die fast überall existierenden Ableitungen \(\dot x_ j\) als atomfreie Radonmaße, d.h. als stetige Linearformen über \(C([0,2\pi])\) aufgefaßt werden. Daraus folgt für ``zulässige'' ebene geschlossene Kurven \(p = p(\theta)\) (\(p\) = verallgemeinerter Stützabstand zum Tangentenwinkel \(\theta\)) in einem früheren Sinn des Verf. [On non-convex curves of constant angle, Functional analysis and related topics, 1991, Lect. Notes Math. 1540, 251-268 (1993; see the next review)] mit dem notwendigerweise Radonschen Maß \(p + \ddot p\) die Bogenlängenformel \(| \Lambda| = \sup_{| \phi| \leq 1, \phi \in C_ \infty([0,2\pi])}(p + \ddot p)[\phi]\).