Theory of curves in the conformally isotropic space \(C_ 3^{(1)}\). (Q1331284)

Unter einem konform isotropen Raum \(C_ 3^{(1)}\) versteht man eine 3- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit \(M\) mit einem metrischen Fundamentaltensor vom Rang 2, wobei für seine Komponenten in einer geeigneten Karte gelten: \(g_{11} = g_{22} = q(x^ 1, x^ 2, x^ 3)\), \(g_{12} = g_{13} = g_{23} = g_{33} = 0\), \(q > 0\), \({\partial q \over \partial x^ 3} > 0\). In der interessanten Abhandlung beschreibt der Autor zunächst den Standardzusammenhang, führt den Begriff des \(\kappa\)-Koordinatensystems ein und entwickelt anschließend die Kurventheorie in \(C_ 3^{(1)}\). Hauptanliegen dieses Teiles der Arbeit ist die Herleitung der Frenet-Gleichungen und die Bestimmung der konformen Invarianten. Exemplarisch sei das folgende hübsche Resultat genannt: Die konform isotrope Krümmung \(\kappa\) bzw. die konform isotrope Windung \(\tau\) einer Kurve \(c\) im konform isotropen Raum \(C_ 3^{(1)}\) ist gleich dem \({1 \over \sqrt q}\)-fachen der isotropen Krümmung \(\kappa^*\) bzw. der isotropen Windung \(\tau^*\) im einfach isotropen Raum \(I_ 3^{(1)}\) bei Verwendung eines \(\kappa\)- Koordinatensystems des \(C_ 3^{(1)}\) als Standardkoordinatensystem des \(I_ 3^{(1)}\).