On a lower bound for the absolute value of a polynomial of several complex variables (Q1335034)

On étend au cas de \(n\) variables le théorème d'Henri Cartan qui précise comme suit l'ensemble \(E(c)\) des points du plan où un polynome de degré \(m\) est de module \(\leq c\): si \(c = (\delta/m)^ mm!\), alors \(E(c)\) est contenu dans la réunion d'au plus \(m\) disques dont les rayons ont une somme \(\leq 2 \delta\). Pour un polynome \(P\) à \(n\) variables, on définit des multiindices ``directeurs'' \(\alpha = (\alpha_ 1, \dots, \alpha_ n)\) dont une propriété est \(D^ \alpha P = \text{const.} = c_ \alpha \neq 0\); si \(A(\alpha) = \{j = 1, \dots, n : \alpha_ j > 0\}\) et \(c = | c_ \alpha | \prod_{j \in A (\alpha)} (\delta_ j/ \alpha_ j)^{\alpha_ j}\), alors, pour \(j \in A (\alpha)\), l'intersection de \(E(c)\) avec toute droite complexe obtenue en fixant les coordonnées autres que la \(j^ e\) est contenue dans la réunion d'au plus \(\alpha_ j\) disques dont les rayons ont une somme \(\leq 2 \delta_ j\).