Gelfond's theorem for Drinfeld modules (Q1337414)

Les auteurs établissent un analogue sur les modules de Drinfeld du célèbre théorème de Gelfond. Soient \(e(z)\) la fonction exponentielle d'un module de Drinfeld \(\Lambda\) de rang \(d\), défini sur une extension finie \(k\) de \(\mathbb{F}_q [T]\) et \(\beta\in \overline {k}\) (clôture algébrique de \(\mathbb{F}_q [T])\), \(u\in \overline {k}_\infty\) (clôture algébrique de \(\mathbb{F}_q ((1/ T))\)). Supposons \(\beta\) est de degré \(b\geq 2+ (d/r)\) sur le corps \(K\) des multiplications de \(\Lambda\) avec \(r= [K:k ]\), alors, sous une hypothèse parasite (\(\forall \gamma\in K(\beta \setminus \{0\}\), \(u\gamma\) n'est pas une période de \(e(z)\)), au moins deux des nombres \(e(u), \dots, e(\beta^{d -1} u)\) sont algébriquement indépendants sur \(\overline {k}\). Le cas \(b=3\) et \(r=d\) est l'analogue du théorème de Gelfond, malheureusement entaché de l'hypothèse parasite. Notons que cette dernière hypothèse est levée par un récent travail du critique. Plus intéressant est l'application que fait \textit{L. Denis} [Acta Arith. 69, No. 1, 75-89 (1995; Zbl 0823.11032)]\ du théorème ci-dessus. Utilisant la dérivation par rapport à \(T\) il en déduit que les analogues des nombres \(\pi\) et \(e^\pi\) (resp. \(e\) et \(\pi\)) sont algébriquement indépendants, des énoncés dont les pendants classiques font encore réver.