On the multiplicity of illumination of convex bodies by point sources (Q1337888)

Ein Randpunkt \(y\) einer schleierlosen kompakten (speziell konvexen) Menge \(V\) des euklidischen Raums \(\mathbb{R}^ n\) wird von einer punktförmigen Lichtquelle \(\{x\}\in \mathbb{R}^ n\setminus V\) ``echt'' beleuchtet, wenn neben \(y\) auch alle Punkte \(z\) einer geeigneten Umgebung \(B_ \varepsilon (y)\cap \partial V\) von \(y\) auf \(\partial V\) von \(x\) aus beleuchtet werden: \([x, z]\cap V=\{z\}\). Verff. untersuchen die Frage, ab welcher Anzahl \(f(n,k)\) bei mehreren Lichtquellen \(\{x_ 1\}, \{x_ 2\}, \dots\) mit \(\text{conv} \{x_ 1, x_ 2, \dots\} \subseteq \mathbb{R}^ n \setminus V\) Randpunkte von \(V\) mindestens \(k\)-fach echt beleuchtet werden. Hauptergebnisse sind: 1) Wenn \(V\) konvex ist, gilt \(f(n,2)= n+1\); 2) wenn \(V\) einen glatten Rand besitzt, so gilt sogar \(f(n,2) =2\); 3) wenn \(V\) konvex ist, gilt \(f(n,k)\geq n(k-1) +1\).