On Dirichlet series satisfying Riemann's functional equation (Q1340622)

Aus den klassischen Untersuchungen von Hamburger, Hecke, Siegel und Bochner ist es wohlbekannt, daß die Riemannsche Zetafunktion durch ihre Funktionalgleichung und einige Analytizitätsbedingungen sowie die Entwickelbarkeit in eine Dirichletreihe bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Es sei nämlich \(\varphi (s)\) meromorph und genüge den folgenden Bedingungen: 1. Mit einem passenden Polynom \(P(s)\) ist \(P(s) \varphi(s)\) eine ganze Funktion endlichen Geschlechts. 2. \(R(s)= \pi^{-s} \Gamma(s) \varphi(s)\) erfüllt die Funktionalgleichung \(R(s)= R(1/2- s)\). 3. \(\varphi(s)\) ist in eine irgendwo konvergente Dirichletreihe entwickelbar. Fordert man zusätzlich, daß auch \(\varphi (s/2)\) in eine irgendwo konvergente Dirichletreihe entwickelbar ist oder daß \(\varphi(s)\) holomorph bis auf höchstens einen Pol in \( s=1/2\) ist, so ist \(\varphi(s)\) bis auf einen konstanten Faktor gleich \(\zeta (s)\). Verf. zeigt nun, daß man ohne diese Zusatzbedingung unendlich viele linear unabhängige Funktionen \(\varphi(s)\) erhält, die die Bedingungen 1, 2, 3 erfüllen. Der Beweis benutzt die Korrespondenz zwischen Dirichletreihen mit Funktionalgleichung und Modulformen.