Pfaffian and discriminant (Q1340685)

Soit \(F\) un corps de nombres, \(\Gamma\) un groupe fini. On appelle module quadratique la donnée d'un \(F[G]\)-module de type fini muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. On considère la catégorie \({\mathcal C}\) dont les objets sont de tels modules et les morphismes les \(F[ \Gamma]\)-homomorphismes compatibles aux formes bilinéaires. Deux tels modules sont construits à partir d'une extension \(N\) de \(F\) admettant un groupe d'automorphisme isomorphe à \(\Gamma\); l'un est \(N\) muni de la forme trace, l'autre est le \(F\) espace vectoriel (sur lequel \(\Gamma\) agit) construit sur les \(F\) plongements de \(N\) dans une clôture algébrique \(\overline{F}\), la forme bilinéaire étant celle qui admet ces plongements comme base orthonormée. Il s'agit de comparer ces modules quadratiques. À une telle catégorie sont associés des groupes \({\mathcal K}_ 0\), \({\mathcal K}_ 1\) que l'on relie par le foncteur d'oubli à ceux de la catégorie des \(\overline {F} [ \Gamma]\)-modules. Ceci conduit à une suite exacte à la \textit{A. Heller} [Topology 3, 389-408 (1965; Zbl 0161.015)]: \[ {\mathcal K}_ 1 ({\mathcal C})\to {\mathcal K}_ 1 (\overline{F} [\Gamma]) @>\delta >> \overline {\mathcal K}_{0,\text{rel}} ({\mathcal C}) @>\nu>> {\mathcal K}_ 0({\mathcal C})@> \varepsilon>> {\mathcal K}_ 0 (\overline {F} [\Gamma ]). \] Un des buts poursuivis est décrire \(\overline {\mathcal K}_{0, \text{rel}} ({\mathcal C})\) et son image \(\widetilde {\mathcal K}_ 0 ({\mathcal C})\). On commence par faire cette description dans le cas algébriquement clos puis on utilise une technique de descente. Pour cela, on part de l'idée de \textit{A. Fröhlich} [J. Reine Angew. Math. 286/287, 380-440 (1976; Zbl 0385.12004)], étendue par l'auteur de l'article, consistant à décrire les groupes de \(K\)-théorie au moyen du foncteur Hom. En particulier, il y a un isomorphisme Det entre \({\mathcal K}_ 1 (\overline {F}[ \Gamma])\) et \(\Hom (R(\Gamma), \overline {F}^*)\) où \(R(\Gamma)\) est le groupe des caractères virtuels; on montre qu'il induit un homomorphisme \(Pf\) de \(\overline {\mathcal K}_{0, \text{rel}} (\overline {\mathcal C})\) dans \(\Hom (R^ s (\Gamma), \overline {F}^*)\) où \(R^ s (\Gamma)\) désigne le groupe de caractères symplectiques et \((\overline {\mathcal C})\) la catégorie des \(\overline {F} [G]\)-modules quadratiques. Les suite exactes courtes: \[ 0\to {\mathcal K}_ 1 (\overline {\mathcal C})\to {\mathcal K}_ 1 (\overline {F} (\Gamma))\to \overline {\mathcal K}_{0, \text{rel}} (\overline {\mathcal C})\to 0 \] \[ 1\to \Hom (R(\Gamma)/ R^ s (\Gamma), \overline {F}^*)\to \Hom (R(\Gamma), \overline {F}^*)\to \Hom (R^ s (\Gamma), \overline {F}^*) \to 1 \] sont reliées par les isomorphismes Det (et sa restriction) et \(Pf\). En prenant les invariants par \(G_ F= \text{Gal} (\overline {F}/F)\) on voit apparaître dans la première suite le groupe \(\widetilde{\mathcal K}_ 0 ({\mathcal C})\) et dans la seconde de groupe \(H^ 1 (G_ F, \Hom (R( \Gamma)/ R^ s (\Gamma), \overline {F}^*)\) qui se relient par un homomorphisme Disc. Ces constructions sont illustrées par des exemples, en particulier pour \(\Gamma= \{1\}\). Il est maintenant possible de décrire l'image par Disc de la différence des classes des modules introduits au début (Th. A). En particulier, lorsque \(F= \mathbb{Q}\) on trouve l'image par le cobord de l'application qui à chaque caractère symplectique \(\chi\) associe la somme de Gauss galoisienne \(\tau (\chi)\) (Th. B).