On a class of 2-adic functions related to the ``\(3x+1\)''-problem (Q1341265)

Bezeichnet \(\mathbb Z_2\) den Ring der ganzen 2-adischen Zahlen, also \(\mathbb Z_2:= \{\alpha\in \mathbb Q_2\mid |\alpha |_2\leq 1\}\), so wird durch \(T(\alpha):= \alpha/2\), falls \(|\alpha |_2 <1\), bzw. \(T(\alpha):= (3\alpha+ 1)/2\), falls \(|\alpha |_2=1\), eine Abbildung \(T\) von \(\mathbb Z_2\) in sich definiert, die offenbar eng mit dem Problem im Titel der Arbeit zusammenhängt. Ist \(T^{(0)}\) die Identität auf \(\mathbb Z_2\), ist \(T^{(1)}:= T\) und ist \(T^{(i)}\) die \(i\)-fache Iterierte von \(T\), so wird für \(i\in \mathbb N_0\) durch \(T^{(i)} (\alpha)= \sum_{j=0}^\infty a_{ij} 2^j\), alle \(a_{ij}\in \{0, 1\}\), eine unendliche Matrix \((a_{ij} )_{i,j}\in \mathbb N_0\) definiert, die durch \(\alpha\in \mathbb Z_2\) festgelegt ist. In der vorliegenden Note werden nun die zugehörigen Spaltenfunktionen \(Q_j\), \(j\in \mathbb N_0\), untersucht, die durch \(Q_j (\alpha):= \sum_{i=0}^\infty a_{ij} 2^i\) definiert sind. Insbesondere wird für jedes \(j\in \mathbb N_0\) gezeigt: \(Q_j\) ist in \(\mathbb Z_2\) überall stetig, aber nirgends differenzierbar. Bei Betrachtung von Linearkombinationen mehrerer \(Q_j\) wird die Situation bezüglich Differenzierbarkeit geringfügig komplizierter; es gilt der Satz: Eine Abbildung \(f: \mathbb Z_2\to \mathbb Q_2\) der Form \(f(\alpha)= \sum_{j=0}^N A_j Q_j (\alpha)\) mit allen \(A_j\in \mathbb Q_2\) ist genau dann an einer Stelle \(\alpha\in \mathbb Z_2\) mit \(T^{(k)} (\alpha) =0\) für ein \(k\in \mathbb N_0\) differenzierbar, wenn \(2A_0+ A_1 =0\), \(A_2= \dots= A_N =0\) gilt.