Nineteen problems on elementary geometry (Q1343286)

In der euklidischen Ebene sei ein gleichschenkliges Dreieck \(\triangle\) \(ABL\) mit \(| \overline{AL}| = | \overline{BL}|\) und \(\sphericalangle ALB =: \lambda\) gegeben. Seien ferner \(C\) bzw. \(D\) jeweils ein innerer Punkt der Dreiecksseite \(\overline{AL}\) bzw. \(\overline{BL}\) und hiermit \(\alpha := \sphericalangle BAD\), \(\beta := \sphericalangle ABC\), \(\gamma := \sphericalangle BCD\), \(\delta := \sphericalangle ADC\). Offenbar gilt \(\alpha + \beta = \gamma + \delta\). Als Problem \((\lambda,\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) wird die Aufgabe bezeichnet, bezüglich des Gradmaßes ``einfache'' (z.B. ganzzahlige) Werte von \(\lambda\), \(\alpha\), \(\beta\) so vorzugeben, daß auch \(\gamma\) sowie \(\delta(= \alpha + \beta - \gamma)\) sich dann mit ``einfachen'' (im einzelnen zu berechnenden, Gradzahl-) Werten ergeben. Ausgehend von \(\lambda = 60/7\), 12, 20, 36, 45, 360/7, 72 bzw. 120 Grad und geeigneten Werten für \(\alpha\), \(\beta\) werden 36 wesentlich verschiedene ``einfache'' Quintupel \((\lambda,\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) angegeben, z.B. (20, 50, 20, 60, 10), (20, 60, 50, 80, 30), (72, 48, 24, 66, 6). Zu jeder der angegebenen Lösungen \((\lambda, \alpha, \beta, \gamma, \delta)\) findet sich dabei stets eine dazu ``duale'' Lösung \((\lambda',\alpha',\beta',\gamma',\delta') = (\lambda,\alpha,\alpha - \delta, \gamma, \alpha-\beta)\). Die einzeln zu verifizierenden Lösungen (hier gehen z.B. jeweils geeignete Symmetrie-Überlegungen ein) stellen also 18 Probleme sowie das nachzuweisende Dualitätsprinzip das neunzehnte der im Titel genannten geometrischen Probleme dar. Flankierend zu seinen (und seiner Kollegin Margarita Ramalho) geometrischen Überlegungen hat der Autor ca. 950.000 Kandidaten \((\lambda,\alpha,\beta)\) für einfache Lösungen \((\lambda,\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) mittels Computer untersucht.