Triangles and computers (Q1343287)

Ein paar hübsche Beispiele computer-graphischen ``Entertainments'': (1) Wenn man auf die Seiten eines beliebigen Dreiecks aus einem beliebigen Punkt seines Umkreises die Lote fällt, so liegen deren Fußpunkte auf der sog. Simson-Geraden. Wenn man aus jeder Ecke eines dem Kreis einbeschriebenen Vierecks Lote auf die Verbindungsgeraden der übrigen drei Ecken fällt, so erhält man vier Simson-Geraden, die sich in einem Punkt \(J\) schneiden. Hält man drei dieser Ecken \((A,B,C)\) fest und läßt die vierte auf dem Umkreis wandern, so wandert \(J\) auf dem Feuerbachkreis des Dreiecks ABC, der bekanntlich durch die Seitenmitten festgelegt ist. Und die Simson-Geraden hüllen eine dreispitzige Hypozykloide ein, die den Feuerbachkreis als Inkreis enthält. (2) Wenn man in einem gleichschenkligen Dreieck mit Scheitelwinkel \(20^ \circ\) aus den Basisecken zwei Geraden \(a\), \(b\) einzeichnet, die sich von der Basis um \(60^ \circ\) bzw. \(50^ \circ\) erheben, und wenn man deren Schnittpunkte mit den Schenkeln durch eine Gerade \(c\) verbindet, so ergibt sich der Innenwinkel zwischen \(b\) und \(c\) exakt zu \(80^ \circ\). Dies Beispiel wird verallgemeinert: Es gibt unzählige derartige Konstellationen mit ``rationalen Winkeln'' (rationalen Vielfachen von \(\pi\)). (3) Wenn man zu beliebig gegebenem Dreieck mit Seiten \(a\), \(b\), \(c\) von beliebigem Punkt \(P\) das Lot auf \(a\) zeichnet (Fußpunkt \(A_ 1\)), von \(A_ 1\) das Lot auf \(b\) (Fußpunkt \(B_ 1\)), von \(B_ 1\) das Lot auf \(c\) (Fußpunkt \(C_ 1\)), von \(C_ 1\) das Lot auf \(a\) (Fußpunkt \(A_ 2\)) und entsprechend umlaufend weiter, so erhält man eine kontrahierende Abbildung, die gegen ein Dreieck \(A'B'C'\) konvergiert, das dem Dreieck \(abc\) einbeschrieben und ähnlich ist. Das Ergebnis ist nicht abhängig von der Wahl des Startpunktes \(P\). Ändert man jedoch den Umlaufssinn \((P \to a \to c \to b \to a \dots)\), so erhält man ein neues Dreieck \(A'' B'' C''\), kongruent zu \(A' B' C'\). Beide Dreiecke haben gemeinsamen Umkreis und liegen symmetrisch mit Bezug auf dessen Mittelpunkt. Weitere Symmetrie- und Invarianz-Eigenschaften werden diskutiert. (4) Die Arbeit schließt mit anschaulichen Beispielen zum Beleg für die Gefahr von Fehlschlüssen, die sich aus der prinzipiellen Unschärfe graphischer Darstellungen ergeben können.