Some remarks on a result of A. Selberg (Q1343490)

Es sei \(\theta(x)= \sum_{p\leq x} \log p\). Unter der Annahme der Gültigkeit der Riemannschen Vermutung beweist der Verf. für \(B>0\), \(c\geq 0,722\), \(T\geq e^{10c}\) die Abschätzung \[ \int_ 1^{T^ B} \Bigl| \theta \bigl( y+ {\textstyle {y\over T}} \bigr)- \theta (y)- {\textstyle {y\over T}} \Bigr|^ 2 y^{-2} dy\;\ll\;e^{5BC} H(T) {\textstyle {{\log^ 2 T} \over T}} \] mit \(H(T)= d_ 1+ d_ 2 {{\log T} \over {T^{0,2}}}+ {{d_ 3} \over {T^{0,2}}}+ {{d_ 4} \over {T^{0,2} \log T}}+ {{d_ 5} \over {T^{0,2} \log^ 2 T}}+ {{d_ 6} \over {T^{0,6} \log^ 2 T}}+ {{d_ 7} \over {T\log^ 2 T}}\) und expliziten, nur von \(c\) abhängigen Konstanten \(d_ 1, \dots,d_ 7\). Damit verschärft er ein Resultat von \textit{A. Selberg} [Arch. Math. Naturvid. 47, No. 6, 87-105 (1943; Zbl 0028.34802)], der den Fall \(B=4\) untersucht hatte. Der Beweis beruht auf einer aus der Riemannschen Vermutung gefolgerten expliziten Abschätzung von \[ \int_ 0^ T \bigl| {\textstyle {\zeta' \over \zeta}} (\sigma+ it) \bigr|^ 2 dt \] für passende \(\sigma> {1\over 2}\).