Maximal solutions of the scalar curvature equation on open Riemannian manifolds (Q1343888)

L'auteur s'intéresse à l'existence éventuelle d'une métrique \(\widetilde {g}\) conforme à \(g\) telle que la courbure scalaire \(\widetilde {R}\) soit une fonction \(f \leq 0\) donnée sur \(M\). Il suppose que \(f|_{\partial \Omega_i} < 0\) où \(\{\Omega_i\}\) est une suite de sous-variétés compactes à bord \(C^\infty\) vérifiant \(\overline {\Omega}_i \subset \overset \circ \Omega_{i + 1}\) et \(\cup \Omega_i = M\). Mentionnons certains résultats démontrés par l'auteur. -- Si l'équation correspondant au problème: \(Lu = fu^{(n + 2)/(n - 2)}\), \(u > 0\), (\(L\) est le laplacien conforme) admet une sous-solution \(u_- > 0\), le problème admet une solution maximale \(v\) au sens où tout autre solution \(u\) de l'équation satisfait \(u \leq v\). -- Si la variété est complète à courbure scalaire \(R\) majorée par une constante négative et si \(f\) est bornée alors il existe une métrique \(\widetilde {g}\) complète avec \(\widetilde {R} = f\). La méthode utilisée est essentiellement la méthode des sur-et sous- solutions. Lorsque \(r^2\) (\(r\) la distance géodésique à un point) est une fonction \(C^\infty\), l'auteur met en évidence, sous certaines conditions, une sous-solution explicitement.