The group of autoprojectivities of \(\text{SL}_ 3(\overline{\mathbf F}_ p)\) and \(\text{PGL}_ 3(\overline{\mathbf F}_ p)\) (Q1345911)

In früheren Arbeiten hat der Verf. die Gruppe \(P(G)\) aller Autoprojektivitäten (d.h. Automorphismen des Untergruppenverbandes) einer einfachen algebraischen Gruppe \(G\) über dem algebraischen Abschluß \(F_p\) des Körpers mit \(p\) Elementen studiert. Die operiert auf dem zu \(G\) gehörigen Gebäude und ist genau dann isomorph zu \(\text{Aut }G\), d.h. jede Autoprojektivität von einem Gruppenautomorphismus induziert, wenn der Kern \(K(G)\) dieser Operation trivial ist. Der Verf. hat gezeigt, daß für \(p>2\) immer \(K(G)=1\) ist, sofern \(G\) nicht vom Typ \(A_2\) ist. In der vorliegenden Arbeit studiert er nun die Gruppen vom Typ \(A_2\) für beliebiges \(p\) und zeigt, daß in diesem Fall, d.h. für \(G=\text{SL}(3,F_p)\) und \(G=\text{PSL}(3,F_p)\), nicht nur immer solche nicht-induzierten Ausnahmeautoprojektivitäten existieren, sondern die Gruppe \(K(G)\) unendlich, sogar nicht periodisch, und nicht auflösbar ist. Es ist leicht zu sehen, daß \(K(G)\) die Untergruppe \(H\) der Diagonalmatrizen invariant läßt, also darauf Autoprojektivitäten induziert. Der Verf. gibt, allgemein für \(G=\text{SL}(3,K)\) mit \(K\) Teilkörper von \(F_p\), notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an, daß eine Autoprojektivität von \(H\) zu einer Autoprojektivität aus \(K(G)\) fortgesetzt werden kann. Dies liefert für viele solche Teilkörper \(K\) von \(F_p\), daß \(K(\text{SL}(3,K))\neq 1\) ist, woraus das oben zitierte Hauptresultat für \(G=\text{SL}(3,F_p)\) folgt. Da der Verf. ferner zeigt, daß jede Autoprojektivität von \(\text{PSL}(3,K)\) durch eine Autoprojektivität von \(\text{SL}(3,K)\) induziert wird und diese Zuordnung genau dann injektiv ist, wenn die 3-Komponente von \(K^\times\) unendlich ist oder Ordnung \(\leq 3\) hat, folgt das Resultat für die \(\text{PSL}(3,F_p)\) aus dem für die \(\text{SL}(3,F_p)\).