On Fermat's equation in the set of integral \(2\times 2\) matrices (Q1346391)

Zur Vereinfachung der Notation werde eine \(m\times m\) Matrix \((a_{ij})\) in der Form \((a_{11}, \dots, a_{1m}; \dots;\) \(a_{m1}, \dots, a_{mm})\) aufgeschrieben. Verf. beweist mit Hilfe gewisser Zusammenhänge zwischen Potenzen von Matrizen und rekurrenten Folgen den Satz: Seien \(A= (a, b; c, d)\), \(B= (e, f; g, h)\) und \(C= (p, q; u, v)\) ganzzahlige Matrizen mit nicht verschwindenen Spuren und Normen. Weiterhin habe mindestens eine dieser Matrizen ein charakteristisches Polynom mit nicht verschwindender Diskriminante und so, daß der Quotient der Wurzeln dieses Polynoms keine Einheitswurzel ist. Gilt dann \(A^ n+ B^ n= C^ n\) für ganzes \(n\geq 2\), so ist die Matrix \((a-d, e-h, p-v; b, f, q; c, g, u)\) singulär. Es wird bemerkt, daß die Umkehrung dieser Aussage im allgemeinen nicht gilt und daß die Gleichung \(F^ n_ k+ F^ n_ l= F^ n_ m\) für kein \(n\geq 2\) in Fibonacci-Matrizen \(F_ j= (0,1; 1,1)^ j= (f_{j-3}, f_{j-2}; f_{j-2},\) \(f_{j-1})\) lösbar ist, wobei \(f_ i\) die \(i\)-te Fibonacci-Zahl bedeutet.