Approximation of real numbers by rationals: some metric theorems (Q1352626)

Ist \(F_n\) die Farey-Folge \(n\)-ter Ordnung, so bezeichne \(\rho_n(x)\) den Minimalabstand zwischen \(x\in [0,1]=:I\) und den Gliedern von \(F_n\). Diese Funktion \(\rho_n(x)\) wird von Verff. in verschiedener Hinsicht untersucht. Zunächst zeigen sie die Asymptotik \[ \int_0^1 \rho_n(x)dx= 3\pi^{-2}n^{-2}\log n+O(n^{- 2}) \] bei \(n\to\infty\) und des weiteren: Ist \(x\in I\) schlecht approximierbar, d.h. ist \(q|qx-p|\) für alle \((p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\) nach unten durch eine positive Konstante beschränkt, so gibt es Konstanten \(c_1,c_2\) mit \(0<c_1\leq n^2\rho_n(x)\leq c_2\) für alle \(n\). Ein Vergleich dieser beiden Sätze zeigt, daß schlecht approximierbare Zahlen im Mittel besser durch Rationalzahlen approximierbar sind als dies im allgemeinen der Fall ist. Nach einer relativ einfachen Anwendung des Khinchinschen ``Hauptsatzes der metrischen Theorie diophantischer Approximationen'', die hier nicht im Detail zitiert werden soll, beweisen Verff. mit einigem technischem Aufwand ihr tiefstes Resultat: Bei monoton wachsendem \(f:[1,+\infty[\to \mathbb{R}_+\) gilt folgende Alternative: (i) Wenn das Integral \((*)\) \(\int_1^\infty dt/f(t)\) divergiert und wenn \(\limsup(\log f(t))/t\) kleiner als 1 ist, dann gilt für (Lebesgue-) fast alle \(x\in I\) die Ungleichung \((**)\) \(n^2\rho_n(x)\geq f(\log n)\) für unendlich viele \(n\). (ii) Konvergiert \((*)\), so gilt für fast alle \(x\in I\) die Ungleichung \((**)\) für höchstens endlich viele \(n\).