Effective lower bound for the \(p\)-adic distance between powers of algebraic numbers (Q1352648)

Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine \(p\)-adische Übertragung der Resultate von \textit{M. Laurent} [Acta Arith. 66, 181--199 (1994; Zbl 0801.11034)] bzw. von \textit{M. Laurent}, \textit{M. Mignotte} und \textit{Y. Nesterenko} (kurz LMN) [J. Number Theory 55, 285--321 (1995; Zbl 0843.11036)], wo untere Schranken für den gewöhnlichen Absolutbetrag ganzzahliger Linearkombinationen in zwei Logarithmen algebraischer Zahlen bewiesen wurden. Wie dort wird auch hier die Schneidersche Transzendenzmethode kombiniert mit der Laurentschen Idee der Interpolationsdeterminanten. Eine erste derartige \(p\)-adische Übertragung hatte bereits \textit{Y. Bugeaud} [Publ. IRMA, Strasbourg (1995)] vorgenommen, aber die von ihm erhaltenen unteren Abschätzungen werden nun dadurch verbessert, daß neue Hilfsmittel herangezogen werden, die der \(p\)-adischen Situation besser angepaßt sind. Während z.B. zur oberen Abschätzung der Interpolationsdeterminanten im archimedischen Fall die Anwendung des Maximumprinzips günstiger ist, zieht man im \(p\)-adischen vorteilhafter ihre Taylorentwicklungen heran, in die spezielle Werte der Schurschen Polynome eingehen, die ganzrationale Koeffizienten haben und somit eine einfache \(p\)-adische Auswertung gestatten. Auch die Nullstellenabschätzungen und die kombinatorischen Betrachtungen waren gegenüber der in LMN behandelten archimedischen Situation zu revidieren. Die zahlreichen, völlig effektiven Ergebnisse der Verff. sind zu umfangreich formuliert, als daß sie hier im einzelnen zitiert werden könnten.