Counterexamples to the Trotter formula in locally convex spaces (Q1360834)

Es sei \(E\) ein lokal konvexer Raum und \({\mathcal L}(E)\) der Raum der stetigen linearen Abbildungen von \(E\) in sich, versehen mit der punktweisen Topologie. Unter \(\text{unex}(E)\) wird dann die Menge aller \(A\in{\mathcal L}(E)\) verstanden, für die das Anfangswertproblem \[ \dot x=Ax, \qquad x(0)= x_0 \] für alle \(x_0\in E\) und \(t>0\) eindeutig lösbar ist. Die Lösung wird mit \(\exp(tA)(x_0)\) bezeichnet. Sind nun zwei Abbildungen \(A,B\) so beschaffen, daß \(\{A,B,A+B\} \subset \text{unex}(E)\) gilt, so nennt man die Beziehung \[ \lim_{n\to\infty} \bigl(\exp \tfrac tn A\cdot \exp\tfrac tn B \bigr)^n x=\exp t(A+B)x \tag \(*\) \] die Trotter-Formel. In der vorliegenden Arbeit werden Beispiele angegeben, für die zwar \(A,B,A+B\) zu \(\text{unex}(E)\) gehören, für die aber der Grenzwert auf der linken Seite von \((*)\) nicht existiert. Diese Beispiele werden zunächst für Abbildungen angegeben, die sich über Matrizen beschreiben lassen, dann aber auf allgemeinere Situationen ausgedehnt. Bemerkung: Bei der Übertragung der russisch geschriebenen Arbeit ins Englische hat sich offenbar ein Fehler eingeschlichen: in der Überschrift und Corollary 1 muß es ``convex'' statt ``compact'' heißen.