On indecomposable normal matrices in spaces with indefinite salar product (Q1362630)

Der \(\mathbb{C}^n\) bzw. \(\mathbb{R}^n\) sei mit einem durch \([x,y]= (Hx,y)\) (\((.,.)\) kanonisches Skalarprodukt, \(H\) nicht-singulärer Hermitescher Operator) definierten indefiniten skalaren Produkt versehen, bezüglich dessen dann \(H\)-adjungiert, \(H\)-normal, \(H\)-unitär wie üblich definiert sind. Das Minimum \(k\) der Anzahl der positiven und der Anzahl der negativen Eigenwerte von \(H\) wird als Rang bezeichnet. Ein Unterraum \(V\) heißt nicht degeneriert, wenn aus \(x\in V\) und \([x,y]=0\) für alle \(y\in V\) sogar \(x=0\) folgt. Ein linearer Operator \(A\) heißt unzerlegbar, wenn für keinen echten Unterraum \(V\neq 0\) gilt, daß \(V\) und \(V^\perp\) (\(H\)-orthogonales Komplement) beide \(A\)-invariant sind. Verf. und \textit{V. A. Strauss} haben gezeigt [Linear Algebra Appl. 241-243, 455-517 (1996; Zbl 0859.15010)]: Es sei \(N\) ein unzerlegbarer \(H\)-normaler Operator von \(\mathbb{C}^n\), und es sei \(k>0\). Dann hat \(N\) nur einen Eigenwert, und es ist \(2k\leq n\leq 4k\), oder aber \(N\) hat zwei Eigenwerte, und es ist \(n=2k\). Ein entsprechendes Ergebnis für den \(\mathbb{R}^n\) mit einer Unterteilung in fünf Fälle soll demnächst erscheinen (Linear Algebra Appl.). Verf. beweist über diese Resultate hinaus, daß in den FäIlen \(\mathbb{C}^n\) und \(\mathbb{R}^n\) die angegebenen Unterfälle und in den auftretenden Ungleichungen die jeweiligen Gleichheitszeichen tatsächlich eintreten.