Picard principle for negative planar potentials (Q1364554)

On se donne sur \(\mathbb{R}^2\setminus \{0\}\) une mesure de Radon \(\mu\) appartenant à la classe de Kato, i.e. la borne sup sur le disque \(D(x,\varepsilon)\) du potentiel newtonien de \(|\mu|\bigl|_{D(x,\varepsilon)}\) tend vers 0 avec \(\varepsilon\) \(\forall x\in \mathbb{R}^2\setminus \{0\}\); pour \(\alpha\in\;]0,\infty[,\) soit \(\Omega_\alpha= D(0,\alpha)\setminus \{0\}\). On considère les fonctions continues \(u\geq 0\) sur \(\overline{D} (0,\alpha)\setminus \{0\}\), nulles sur la circonférence de \(D(0,\infty)\), qui vérifient \(\int u\Delta\varphi d\lambda= \int u\varphi d\mu\) (\(\lambda\) mesure de Lebesgue) \(\forall \varphi \in{\mathcal C}_0^\infty(\Omega_\alpha)\); on dit que le principe de Picard a lieu pour \(\mu\) sur \(\Omega_\alpha\) si ces fonctions \(u\) sont proportionnelles entre elles, et l'on montre qu'il en est ainsi lorsque \(\mu|_{\Omega_\alpha}\leq 0\). Les auteurs announcement un nouveau travail où la dimension est \(\geq 3\) au lieu de \(=2\), sous l'hypothèse supplémentaire \(\mu\) radiale, dont la nécessité est un problème ouvert.