The Hilbert type inequality for the system of root functions of an even order ordinary differential operator (Q1374973)

Auf einem beschränkten offenen Intervall \(G\) der reellen Achse wird eine Funktionenfolge \(\{u_k(x)\}\) mit bzgl. \(k\) beschränkten \(L^2\)-Normen betrachtet, deren Glieder einer Folge linearer Differentialgleichungen der festen Ordnung \(2m\) genügen derart, daß in der \(k\)-ten Gleichung Ableitungen nur von \(u_k\) mit von \(k\) unabhängigen variablen Koeffizienten auftreten; auch die Funktion \(u_k\) kommt mit einem solchen Koeffizienten vor, außerdem treten \(u_k\) und möglicherweise auch \(u_{k-1}\) auf, multipliziert mit geeigneten von \(k\) unabhängigen Konstanten. In der Arbeit werden notwendige und/oder hinreichende Bedingungen an die Funktionenfolge bzw. die Folgen der zugehörigen Ableitungen bis zur Ordnung \(2m-1\) angegeben für das Bestehen der Ungleichung von ``Hilbertschen Typ'' \[ \sum_{k=1}^\infty |(f,u_k)|^2\geq \beta\| f\|_{L_2(G)}^2 \qquad (\beta=\text{const}>0) \tag{\(*\)} \] für alle \(f\in L^2(G)\), die außerhalb einer hinreichend kleinen Umgebung eines festen Punktes \(y\in G\) verschwinden. (Besteht \((*)\) sogar für alle \(f\in L^2(G)\), so folgt daraus die Vollständigkeit von \(\{u_k\}\).) Beweise der angegebenen fünf Sätze werden nicht geführt. Es fehlen auch Hinweise auf die zu den Beweisen benutzten Methoden.