Operator blocks and quadruples of subspaces: Classification and the eigenvalue completion problem (Q1375518)

Ein Operatorblock \((B;P,Q)\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(H\) besteht aus zwei Projektionen \(P,Q: H\to H\) und einer linearen Abbildung \(B:\text{Im } Q\to \text{Im } P\). Für Operatorblöcke wird ein Ähnlichkeitsbegriff eingeführt, und es wird auf direkte Summen, auf spezielle einfache Blocktypen und auf eine normierte Darstellung allgemeiner Blöcke eingegangen. Jedem Operatorblock von \(H\) wird ein Unterraumquadrupel von \(H+H\) zugeordnet. Blöcke mit demselben zugeordneten Quadrupel werden durch spezielle Ähnlichkeiten gekennzeichnet, und weiter wird auch die Menge aller Blöcken entsprechenden Quadrupel durch Eigenschaften beschrieben. Diese Zuordnung ist mit der Bildung direkter Summen verträglich, der Ähnlichkeit von Blöcken entspricht die Isomorphie der zugeordneten Quadrupel, und ebenso werden Blockeigenschaften durch Quadrupeleigenschaften gekennzeichnet. Eine lineare Abbildung \(A:H\to H\) heißt eine Komplettierung des Blocks \((B;P,Q)\), wenn \(B=PAQ\) erfüllt ist. Das Eigenwertproblem für derartige Komplettierungen wird auf die zugeordneten Unterraum-Quadrupel übertragen, wobei maximale Quadrupel-Erweiterungen die entscheidende Rolle spielen.