A geometric version of the Kerov-Kirillov-Reshetikhin construction (Q1382879)

Les tableaux de Young, standard ou généraux, sont des objets combinatoires classiques, riches, mais difficiles à étudier. Beaucoup de problèmes les concernant sont encore ouverts. Par exemple, pour trouver le nombre de tableaux de forme et d'évaluation données, ou plus généralement, pour calculer les polynômes de Kostka, on n'a pas de méthode efficace comme des formules de récurrence: on en est réduit à énumérer tous les tableaux d'un type donné. On est alors confronté au problème de trouver une méthode pour engendrer tous les tableaux. Si l'on travaille sur le monoïde plaxique, qui est un objet équivalent à l'algèbre des tableaux, il est difficile d'énumérer tous les mots non congrus par rapport à la relation plaxique. Force est donc de rester attentif à toute nouvelle approche qui rendrait cette algèbre de tableaux plus accessible. Par une démarche totalement différente des méthodes utilisées jusqu'ici, S. V. Kerov, A.-N. Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont introduit des nouveaux objets (\textit{rigged configurations} en anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young. Les sources physiques qui ont conduit les trois auteurs précédents à introduire ces objets restent bien mystérieuses. Par contre, on peut donner une version très combinatoire de ceux-ci et rendre plus compréhensible l'approche de ces auteurs en utilisant des modèles géométriques, essentiellement des chemins polygonaux. Le résultat fondamental de KKR se traduit de la façon suivante dans le modèle combinatoire que nous allons décrire ici: Les tableaux de Young sont en bijection avec les matrices dont tous les coefficients sont des chemins. L'intérêt du modèle KKR est qu'il permet de traiter plusieurs problèmes. D'abord, on peut énumérer les tableaux de Young par bloc, ce qui permet de calculer les polynômes de Kostka très rapidement. D'autre part, certaines opérations fondamentales sur les tableaux ou sur le monoïde plaxique, comme la standardisation par Lascoux et Schützenberger, qui semblent peu naturelles (sauf pour leurs inventeurs!) deviennent très explicites avec ces nouveaux objets. A l'aide de ceux-ci, il semble que de nouvelles propriétés sur les tableaux de Young pourront être étudiées. L'objet de ce mémoire est d'expliciter le résultat fondamental de KKR (section 2), de décrire ensuite deux algorithmes sur les matrices de chemins, enfin de redémontrer le théorème fondamental de KKR, dans le cas \(q=1\), en établissant une bijection entre les matrices de chemins et les tableaux de Young (section 4).