Unitals in topological affine translation planes need not be strictly convex (Q1408503)

Ein Unital in einer projektiven Ebene ist eine Menge von Punkten, die die gleichen In\-zi\-denz\-ei\-genschaften hat wie die Menge der absoluten Punkte einer Polarität einer papposschen Ebene. Die Verfasser studieren kompakte Hyperunitale in topologischen affinen Ebenen \(E\), deren Punkt\-men\-ge homöomorph zu \(\mathbb R^{2\ell}, \ell\in \{2,4,8\}\), ist; diese Hyperunitale sind kompakte Unitale der Kodimension \(1\) bezüglich der Punktmenge von \(E\) [vgl. \textit{S. Immervoll}, Adv. Geom. 1, 333--344 (2001; Zbl 0997.51003)]. Sie zeigten in einer früheren Arbeit [Geom. Dedicata 83, 95--104 (2000; Zbl 0977.51006)], dass jedes Ovoid in einer Translationsebene \(E\) ein Unital ist. In dieser Arbeit führen die Verfasser den Begriff einer Hülse (shell) \(S\) ein. Das ist eine kompakte Teilmenge des affinen Raumes \(\mathbb R^n\), so dass \(\mathbb R^n \setminus S\) nicht zusammenhängend ist und in jedem Punkt von \(S\) eine einzige Stützhyperebene existiert. Obgleich eine Hülse \(S\) nicht strikt konvex sein muss, ist eine Hülse \(S\) in der Translationsebene \(E\) ein kompaktes Hyperunital, wenn keine Gerade von \(E\), die \(S\) in mindestens zwei Punkten trifft, in einer Stützhyperebene von \(S\) liegt. Hat eine Hülse \(S\) in einer Translationsebene \(E\) höchstens abzählbar viele Stützhyperebenen \(H\), so dass die Dimension von \(S \cap H\) in der zu \(\mathbb R^{2\ell}\) homöomorphen Punktmenge von \(E\) höchstens \(\ell\) ist, so enthält jede Translationsebene \(E\) ein Hyperunital, welches zu \(S\) isomorph ist. Eine Hülse \(S\) in \(\mathbb R^{2\ell}\), \(\ell \in \{2,4,8\}\), ist ein Ovoid, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (a) \(S\) ist ein Hyperunital bezüglich jeder topologischen Translationsebene \(E\) homöomorph zu \(\mathbb R^{2\ell}\). (b) Jedes Bild \(\delta (S)\) unter einem Element \(\delta\) aus der allgemeinen linearen Gruppe \(GL_{2\ell} (S)\) ist ein Hyperunital bezüglich einer speziellen Translationsebene \(E\).