Examples of incomplete normed barrelled spaces (Q1411447)

Dans un espace \(X\) de mesure finie \(\mu\), un idéal \({\mathcal E}\) est une famille d'ensembles mesurables stable par réunions finies, leurs sous-ensembles (l'ensemble vide en est un élément). C'est un \(\alpha\)-idéal si \(X\) est la réunion d'une suite croissante \(\{A_n\}\) d'éléments de \({\mathcal E}\) et si ce dernier est soumis à une condition supplémentaire faisant intervenir une série divergente de nombres réels non négatifs; il est possible d'en extraire une série divergente de nombres strictement croissants tels que \({\mathcal E}\) soit la réunion des \(A_n\setminus A_{n-1}\) correspondants. Etant donné un nombre réel \(p\geq 1\), l'espace \(L^p_{\mathcal E}(\mu)\) (muni de la norme usuelle) est la limite inductive, pour \(B\in{\mathcal E}\), des espaces \(L^p_B(\mu)\) [celui-ci est l'espace des éléments de \(L^p(\mu)\) dont le support est contenu dans \(B\)]. Le résultat central s'énonce: si \({\mathcal E}\) est un \(\alpha\)-idéal, \(L^p_{\mathcal E}(\mu)\) est ultrabornologique et, par suite, tonnelé. Quatre exemples importants sont donnés.