General formula of polynomial interpolation. (Q1434878)

\(\varTheta_1,\varTheta_2, \ldots, \varTheta_n\) seien Operatoren, die, auf Polynome angewandt, den Grad eines Polynoms um Eins erniedrigen; die Anwendung auf eine Konstante soll Null ergeben. Ferner mögen die Operationen dem assoziativen und distributiven Gesetz genügen. Endlich sei die inverse Operation \(\varTheta_{\nu}^{-1}\) für ein Polynom bis auf eine additive Konstante bestimmt. Wenn die Werte \[ f(0),\varTheta_1 f(0),\varTheta_2\varTheta_1 f(0),\ldots, \varTheta_n \varTheta_{n-1} \ldots \varTheta_1 f(0) \] gegeben sind, so ist \[ \begin{multlined} f(x)=f(0)+x\varTheta_1 f(0)+\varTheta_1^{-1} x \varTheta_2\varTheta_1 f(0)+ (\varTheta_2\varTheta_1)^{-1} x \varTheta_3\varTheta_2\varTheta_1 f(0)+\cdots\\ +(\varTheta_{n-1}\cdots\varTheta_1)^{-1} x \varTheta_n\varTheta_{n-1} \cdots\varTheta_1 f(0) \end{multlined} \] dasjenige Polynom \(n\)-ten Grades, das an der Stelle \(0\) die vorgeschriebenen Werte annimmt. Durch Spezialisieren der Operatoren \(\varTheta_1,\ldots,\varTheta_n\) (Differentiation, Differenzenbildung) erhält man aus dieser allgemeinen Formel bekannte Interpolationsformeln.