Sur quelques équations de Monge à deux variables indépendantes. (Q1434908)

Verf. betrachtet eine \textit{Monge}sche Differentialgleichung in zwei unabhängigen Veränderlichen \((x,y)\) und zwei abhängigen Veränderlichen \((z,u)\) der Form : \[ a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}+ a_1\frac{\partial u}{\partial x}+b_1\frac{\partial u}{\partial y}+ f(x,y,z,u)=0 \] bzw. \[ \varOmega=a\, dz\, dy+b\, dx\, dz+a_1\, du\, dy+b_1\, dx\, du+f\, dx\, dy=0. \] Nach der Theorie der symbolischen Differentialformen sind von vornherein die Fälle \[ a b_1-b a_1=0 \quad \text{bzw.} \quad a b_1-b a_1\neq 0 \] zu unterscheiden, gemäß welcher Alternative die Form \(\varOmega\) in ein symbolisches Produkt zweier \textit{Pfaff}scher Formen zerfällt oder nicht (vgl. \textit{E.~Goursat}, Leçons sur le problème de Pfaff (1922), p.~97; F.~d.~M. 48, 538). Die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(a_1\), \(b_1\) werden dabei stets als Funktionen von \(x\) und \(y\) allein vorausgesetzt. Für die Untersuchung ``expliziter'' Integrationsmöglichkeiten derartiger Differentialgleichungen liefert der Bau der Funktion \(f\) weitere Fallunterscheidungen. Durch (lineare) Transformation der abhängigen Variablen \((z,u)\) ergeben sich je nach dem Verhalten von \(a b_1-a_1 b\) die reduzierten Gleichungsformen : \[ a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} + f(x,y,z,u) = 0, \quad \text{bzw.} \quad a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} + f(x,y,z,u) = 0, \] wo \(a\), \(b\), \(f\) in jeweils neuer Bedeutung eingeführt werden. Im ersten Fall zeigt die Aufspaltung der zugehörigen Form \(\varOmega\) in zwei \textit{Pfaff}sche Formen, daß man nur dann auf zwei vollständig integrable Gleichungen geführt wird, wenn \(f\) von \(u\) frei ist. Nur in diesem Fall besitzt \(\varOmega\) einen integrierenden Faktor. Besteht keine Zerlegungsmöglichkeit von \(\varOmega\) in zwei symbolische \textit{Pfaff}sche Formen, setzt man jedoch gleichwohl die Existenz eines integrierenden Faktors für die zugehörige Form \(\varOmega\) voraus, so kann die \textit{Monge}sche Gleichung durch eine weitere lineare Transformation auf die Form: \(\dfrac{\partial z}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} + \alpha z + \beta u + \gamma = 0\) gebracht werden. Von den vier ``Integrabilitätsbedingungen'', durch deren Bestehen die Voraussetzung der Existenz eines integrierenden Faktors in diesem Falle (\(a_1 b - a b_1\neq 0\)) zum Ausdruck gebracht wird, reduzieren sich zufolge der letzten Transformation zwei auf die einfache Gleichung: \(\dfrac{\partial \alpha}{\partial y} = \dfrac{\partial \beta}{\partial x}\). Die Gleichung \(\dfrac{\partial z}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} + \alpha k + \beta u + \gamma = 0\), deren Koeffizienten Funktionen von \(x\) und \(y\) sind, gestattet für \(\dfrac{\partial \alpha}{\partial y} \neq \dfrac{\partial \beta}{\partial x}\) eine Darstellung ihrer Unbekannten \(z\) und \(u\) ohne jede Quadratur mit Hilfe einer willkürlichen Funktion \(U(x,y)\) und deren Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung (``explizite'' Integration; ``integrallose'' Lösung!); für \(\dfrac{\partial \alpha}{\partial y} = \dfrac{\partial \beta}{\partial x}\) ist die Funktion \(U\) durch eine lineare Differentialgleichung, deren Integration auf zwei Quadraturen führt, gegeben. Das Ergebnis gestattet eine unmittelbare Verallgemeinerung auf Gleichungen der nämlichen Form, in welchen \(n\) unabhängige und \(n\) abhängige Veränderliche auftreten. Eine Anwendung bietet die Theorie der Strahlsysteme: Deutet man im Strahlsystem \(x=az+p\); \(y=bz+q\) die Größen \(p(a,b)\), \(q(a,b)\) als Lösungssystem der Gleichungen \(\dfrac{\partial p}{\partial a} + \dfrac{\partial q}{\partial b} + f(a,b,p,q) = 0\) bzw. \(da\,dq+dp\,db+f(a,b,p,q)\,da\,db=0\), so gilt der Satz: Wird einer jeden Geradenrichtung im Raum, charakterisiert durch die Richtungsparameter \((a,b)\), vermöge einer willkürlichen Vorschrift \[ f = A(a,b) p + B(a,b) q +C(a,b) \] mit beliebigen Funktionen \(A\), \(B\), \(C\) eine Ebene zugeordnet, so kann man ``integrallos'' alle Strahlsysteme bestimmen, in welchen die Brennpunktsmitte eines jeden Systemstrahls in der zugeordneten Ebene liegt. Die weiteren Untersuchungen sind \textit{Monge}schen Gleichungen der Form: \[ \frac{D(z,z_1)}{D(u,v)} + A \frac{\partial z}{\partial u} + B \frac{\partial z}{\partial v} = 0 \quad \text{bzw.} \quad dz\, dz_1 + A\, dz\, dv - B\, dz\, du = 0 \] gewidmet, in welchen die bekannten Koeffizienten \(A\) und \(B\) jetzt von allen Variablen abhängig gedacht werden. Auch für diese Gleichungen können die allgemeinen Lösungen durch ein System expliziter Relationen, in welche eine willkürliche Funktion eingeht, angegeben werden. Sie spielen eine Rolle in den \textit{Weingarten}schen Untersuchungen über Flächendeformation, wenn es sich darum handelt, auf einer Fläche mit gegebenem Bogenelement Kurven zu bestimmen, welche Striktionslinien gewisser Regelflächen sind, die man erhält, indem durch jeden Punkt der Kurve eine Gerade, welche der Tangentialebene der Fläche in diesem Punkt angehört, gelegt wird. (V~6~B.)