Über die Gleichung der Wärmeleitung. (Q1434975)

Verf. behandelt die erste Randwertaufgabe im parabolischen Fall \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \tag{1} \] durch Übertragung derjenigen Methode, welche \textit{O. Perron} [Math. Z. 18, 42--54 (1923; JFM 49.0340.01)) für den elliptischen Fall angegeben hat. Und zwar sind die Randbedingungen folgende: Gegeben ist das einfach zusammenhängende Gebiet \(G\), dessen Rand aus den Bogen \(B_1 \{ x = \xi_1 (y)\}\) und \(B_2 \{x = \xi_2 (y)\}\), \(0 \leqq y < y_0\), sowie aus den beiden Strecken \(S_1 \{ \xi_1 (0) < x < \xi_2(0), \;y = 0\}\) und \(S_2 \{ \xi_1 (y_0) \leqq x \leqq \xi_2 (y_0), \;y = y_0\}\) besteht \([\xi_1 (y), \xi_2 (y)\) eindeutig (stetig) und von beschränktem Differenzenquotienten, \(\xi_1 (y) < \xi_2 (y)\) für \(0 \leqq y \leqq y_0]\). Gegeben ist ferner auf dem offenen Bogen \(B_1 \dot{+} B_2 \dot{+} S_1\) eine beschränkte Funktion \(f\), deren obere bzw. untere Limesfunktion mit \(\overline{f}\) bzw. \(\underline{f}\) bezeichnet sei. Gesucht wird eine Lösung \(u\) von (1), welche nebst ihren Ableitungen \(u^{\prime\prime}_{xx}, u^\prime_y\) im Innern von \(G\) sowie im Innern von \(S_2\) stetig ist, während ihre Limesfunktionen \(\overline{u}, \underline{u}\) auf \(B_1 \dot{+} B_2 \dot{+} S_1\) der Ungleichung \(\underline{f} \leqq \underline{u} \leqq \overline{u} \leqq \overline{f}\) genügen. Zur Durchführung sei nur bemerkt, daß an Stelle der im elliptischen Falle verwendeten Kreise bzw. \textit{Poisson}-integrale hier Trapeze mit zur \(x\)-Achse parallelen Seiten bzw. die entsprechenden Randintegrale treten.