Non-isolated critical points of functions. (Q1434984)

\textit{M. Morse} hatte die Theorie der kritischen Punkte einer reellen Funktion von \(n\) unabhängigen Veränderlichen unter Voraussetzungen entwickelt, die zur Folge hatten, daß diese Punkte nur in endlicher Anzahl auftreten (1925; F. d. M. 51, 451 (JFM 51.0451.*)). Verf. dehnt diese Theorie auf den Fall nicht isolierter kritischer Punkte aus. \(f(x_1,\dots, x_n)\) sei eine in einem Gebiet \(R\) stetige und einmal stetig differenzierbare Funktion. Ein kritischer Punkt von \(f\) ist ein Punkt, in dem alle Ableitungen \(\dfrac {\partial f}{\partial x_\nu }\) gleichzeitig verschwinden. \(H\) bezeichne die Menge aller kritischen Punkte von \(f\) in \(R\). Dann gibt es eine zusammenhängende Teilmenge \(M (H, p)\) von \(H\), die folgende Eigenschaften besitzt: (1) \(p\subset M (H, p)\);\ (2) für jeden Punkt \(x\subset M(H,p)\) ist \(f(x) = f (p)\); \ (3) \(M (H, p)\) ist in keiner größeren zusammenhängenden Teilmenge von \(H\) enthalten, die die Eigenschaften (1) und (2) besitzt. \(M (H, p)\) heißt eine kritische Menge von \(f\) in \(R\). -- Wenn die Teilmengen \(K_1, K_2, \dots, K_m\) von \( H \) so beschaffen sind, daß je zwei Punkte eines \(K_i\) durch einen rektifizierbaren \textit{Jordan}bogen endlicher Länge in \(K_i\) verbunden werden können, und daß die Vereinigungsmenge der abgeschlossenen Hüllen \(\bar{K}_i\) zusammenhängend ist, so gehören die \(K_i\) alle derselben Menge \(M (H, p)\) an. \(M (H, p)\) heißt eine Minimalmenge von \(f (x)\), wenn für jeden Punkt \(q\) von \(R\), der von \(M (H, p)\) genügend wenig entfernt ist, \(f (q) \leqq f (p)\) ist und dabei das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn \(q\subset M (H, p)\). Wenn die Funktion \(f (x)\) zwei verschiedene Minimalmengen \(M_1, M_2\) in \(R\) besitzt, so gibt es in \(R\) noch einen kritischen Punkt von \(f\), der nicht in \(M_1 + M_2\) enthalten ist. Dieser letzte Satz stellt eine Verallgemeinerung des Minimaxprinzips dar. (V 2.)