Bemerkungen zu meiner Arbeit ``Über die Summen zufälliger Größen''. (Q1435013)

Verf. berichtigt und präzisiert die Sätze 4, 5, 6 seiner Arbeit in den Math. Ann. 99 (1928; F. d. M. 54, 543 (JFM 54.0543.*)). Weiter wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für die vom Verf. in obiger Arbeit definierte ``Stabilität der Mittelwerte'' oder das ``Gesetz der großen Zahl'' in einem Spezialfall angegeben. Unter der Voraussetzung, daß alle unabhängigen Größen \(y_1, y_2, \dots, y_n, \dots\) dieselbe Verteilung \(W (y < x) = F (x)\) haben (wobei \(W\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \(y < x\) bezeichnet), gilt der Satz: Notwendig und hinreichend für die Stabilität der Mittelwerte, also dafür, daß sich zu den \( \sigma = \frac {\sum\limits_1^n y_\nu}n\) eine Zahlenfolge \(d_1, d_2, \dots\) angeben läßt, so daß für jedes \(\eta > 0\) gilt \(W(|\sigma_n - d_n|\geqq \eta ) \to 0\) für \(n \to \infty\), ist die Bedingung \(nW(|y| >n)\to 0\). Daraus folgt in diesem Falle der von \textit{Khintchine} bewiesene Satz, daß die Stabilität normal ist (d. h. für die \(d_\nu\) können die mathematischen Erwartungen von \(y_\nu\) gesetzt werden), wenn die mathematischen Erwartungen der \(y_\nu\) existieren.