Über einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1435018)

Es sei \(W (E) = p\) die Wahrscheinlichkeit von \(E\), \(q = 1-p\), \(\dfrac mn\) die Häufigkeit von E. Ferner sei \(0 \leqq g_1 \leqq g_2\); \( t = o(\sqrt{n})\). Verf. zeigt, daß folgende wichtige Verschärfung des \textit{Gauß-Laplace}schen Grenzwertsatzes gilt: für \(n \to \infty\), \(t \to \infty\) gilt: \[ \frac {W\left[ \sqrt{npq} \left(t + \dfrac {g_1}t \right) < m - np < \sqrt{npq} \left( t + \dfrac {g_2}t \right) \right]} {W(\sqrt{npq}\, t < m-np)} \to e^{-g_1} - e^{-g_2}. \] Die Verschärfung liegt in der genauen Aussage über \(m\) für unendlich große \(t\), während das bisherige Gesetz nichts über die Größenordnung aussagte. Der Beweis benötigt zur Abschätzung von Summen von der Form \[ \sum \frac{n!}{m!(n-m)!} p^m q^{n-m} = \sum_{x > \varepsilon \sqrt{n}} \frac 1{\sqrt{2\pi pqn}} \cdot e^{-n \sum\limits_{\varkappa = 2}^\infty \tau_\varkappa \left( \tfrac x{\sqrt{n}} \right)^\varkappa + o \left( \tfrac x{\sqrt{n}} \right)} \] (\(m- np = \sigma x, x = o \sqrt {n}\)) einen von \textit{Hardy-Littlewood} (1914; F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)-308) bewiesenen Satz.