Über das Gesetz des iterierten Logarithmus. (Q1435020)

Es bezeichne \(x_1,\dots, x_n, \dots \) eine Folge unabhängiger zufälliger Größen, deren mathematische Erwartung \(=0\) sei, ferner sei \[ S_n= \sum_1^n x_\nu, \, b_n = E (x_n^2), \, B_n= \sum_1^n b_\nu. \] In Anschluß an eine von \textit{Khintchine} in Math. Ann. 96 (1926), 152 (F. d. M. 52) aufgeworfene Frage untersucht Verf. die Bedingungen, unter denen ``das Gesetz des iterierten Logarithmus'' gilt, d. h. daß gilt: \[ W \left( \limsup \frac {S_n}{\sqrt{2B_n\log \log B_n}} = 1 \right) = 1 \, \text{ für } n \to \infty, \] und beweist, daß sie unter den Voraussetzungen erfüllt ist: \[ B_n \to \infty \qquad \qquad (2) \qquad |x_n| \leqq m_n = o\left( \sqrt { \frac {B_n}{\log \log B_n} } \right). \tag{1} \] Ist \(|x_n| \leqq M\) für alle \(n\), so folgt (2) aus (1), und (1) ist dann notwendig und hinreichend.