Zur Begründung einer axiomatischen Theorie der Dimension. (Q1435138)

Es handelt sich um die Aufgabe, unter allen reellen Funktionen \(f(M)\), wobei \(M\) alle Teilmengen eines festen \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raumes durchläuft, die \textit{Menger-Urysohn}sche Dimension \(d(M)\) durch innere Eigenschaften zu charakterisieren. Verf. zeigt im Falle \(n = 2\), daß \(d(M)\) die einzige Funktion \(f(M)\) ist mit den folgenden fünf Eigenschaften: für jede Teilmenge \(M^\prime\) von \(M\) gilt \(f(M^\prime) \leqq f(M)\); sind \(M_1, M_2, \dots\) abzählbar viele abgeschlossene Mengen, so gilt \(f\left(\sum M_k\right) = \text{Max } f(M_k)\); für zwei homöomorphe Mengen \(M\) und \(M^\prime\) ist \(f(M) = f(M^\prime)\); jede Menge ist homöomorph mit einer kompakten Menge \(M^\prime\), so daß \(f(M) = f(M^\prime)\) ist; für denim elementargeometrischen Sinne \(k\)-dimensionalen Würfel \(W_k\) gilt \(f(W_k) = k\). Verf. bezeichnet ein System von Mengen als monoton, wenn es mit jeder Menge auch jede Teilmenge, als \(F_\sigma\)-additiv, wenn es mit einer Folge von abgeschlossenen Mengen auch ihre Summe, als topologisch invariant, wenn es mit jeder Menge auch jede zu ihr homöomorphe Menge, schließlich als kompaktifizierbar, wenn es zu jeder Menge auch eine sie topologisch enthaltende kompakte Menge enthält. Dann ist der obige Satz für \(n = 2\) äquivalent mit der Behauptung, daß es im \(R_n\) genau \(n + 2\) monotone, \(F_\sigma\)-additive, topologisch-invariante und kompaktifizierbare Systeme gibt, nämlich die Systeme \(D_k^n\) (\(-1 \leqq k \leqq n\)) aller höchstens \(k\)-dimensionalen Mengen. -- Als Hilfssatz wird bewiesen, daß in einem zusammenhängenden und im Kleinen zusammenhängenden vollständigen Raume je zwei Punkte durch einen Bogen verbunden werden können.