Zur Dimensions- und Kurventheorie. (Q1435139)

Die Arbeit trägt den Untertitel ``Unveröffentlichte Aufsätze aus den Jahren 1921-23''. In der ersten Note (Herbst 1921) wird ein Kontinuum \(K\), in der zweiten Arbeit (Januar 1922) eine beliebige Menge \(K\) nulldimensional genannt, wenn sie keinen zusammenhängenden Teil enthält. Ausgehend von der Dimension Null wird die Dimension \(n\, (>0)\) rekursiv definiert: \(K\) heißt \(n\)-dimensional, wenn \(n\) die kleinste Zahl ist, so daß jeder Punkt von \(K\) in beliebig kleinen Umgebungen mit höchstens \((n-1)\)-dimensionalen Relativbegrenzungen liegt. In der dritten Note (Februar 1922) wird diese Definition ersetzt durch die folgende, bleibende Definition: (\(-1\)-dimensional heißt die leere Menge; die Dimension \(n\, (\geqq 0)\) wird wie oben rekursiv definiert. Für abgeschlossene Mengen stimmt diese Definition mit der ersten überein. Die vierte Arbeit (Herbst 1922) bringt die Definition der Dimension in einem Punkt. Sie enthält die beiden Sätze, daß erstens die Menge aller Punkte einer \(n\)-dimensionalen \(F_\sigma\)-Menge, in welchen diese \(n\)-dimensional ist, ebenfalls die Dimension \(n\) besitzt, und daß zweitens die Summe endlich vieler abgeschlossener \(n\)-dimensionaler Mengen \(n\)-dimensional ist. In der letzten Arbeit (Herbst 1923) wird bewiesen, daß jede offene Teilmenge des Cartesischen Raumes aller reellen Zahl-\(n\)-tupel \(n\)-dimensional ist.