Théorème sur trois continus. (Q1435155)

Verf. beweist den folgenden Satz: \(A, B, C\) seien drei Kontinua in der Ebene, und \(A + B + C\) trenne zwei Punkte \(p\) und \(q\) der Ebene voneinander, während \(p\) und \(q\) weder durch \(A + B\) noch durch \(B + C\) noch durch \(C + A\) getrennt werden. Dann ist \(ABC = 0\). Der Beweis beruht auf einem Satz von \textit{Janiszewski} (1915; F. d. M. 45, 132 (JFM 45.0132.*)) und den beiden folgenden Hülfssätzen: \ (l) \ \(F\) und \(D\) seien zwei abgeschlossene beschränkte Mengen, \(D\) ein Kontinuum; \(F + D\) trenne die Punkte \(p\) und \(q\) voneinander. Dann enthält \((F + D) - D\) eine zusammenhängende Menge \(S\) so, daß \(D + S\) \ \(p\) von \(q\) trennt. \ (2) \ \(A, B, C\) seien drei beschränkte Kontinua, und \(A + B + C\) trenne \(p\) von \(q\), während \(p\) und \(q\) weder durch \(A + C\) noch durch \(B + C\) voneinander getrennt werden. Dann gibt es zu jedem Punkt \(a\) von \(C\) einen einfachen Bogen \(ax\) derart, daß \(A + B + ax\) \ \(p\) von \(q\) trennt, während weder \(A + ax\) noch \(B + ax\) \ \(p\) von \(q\) trennt. Als Folgerung ergibt sich: wenn \(A, B, C\) unbeschränkte Kontinua sind, die zusammen \(p\) von \(q\) trennen, dann werden \(p\) und \(q\) durch wenigstens eine der Mengen \(A + B\), \(B + C\), \(C + A\) voneinander getrennt.