Concerning collections of cuttings of connected point sets. (Q1435160)

Die Resultate der vorliegenden Arbeit beziehen sich auf zusammenhängende Mengen, die in einen separablen, metrischen Raum eingebettet sind; doch gilt ein Teil der Sätze auch unter bloßer Voraussetzung der Separabilität der untersuchten Mengen. \(M\) sei eine zusammenhängende Menge, \(G\) eine nicht abzählbare Menge von Zerschneidungsmengen (Definition s. F. d. M. 54, 633 (JFM 54.0633.*)) von \(M\). Dann gibt es zwei Punkte \(A\) und \(B\) von \(M\), die durch nicht abzählbar viele Elemente von \(G\) voneinander getrennt werden. \(G\) kann höchstens abzählbar viele Elemente \(g_0\) enthalten, für die \(M - g_0\) nicht die Summe zweier zusammenhängender Teilmengen ist. Es gibt eine Teilmenge \(G^*\) von \(G\), die alle Elemente von \(G\) bis auf höchstens abzählbar viele enthält und die Eigenschaft hat, daß je zwei ihrer Elemente durch nicht abzählbar viele Elemente von \(G^*\) voneinander getrennt werden. Ist \(E\) die Menge, die aus \(G^*\) entsteht, indem man jedes Element \(g^*\) durch \(e = \overline{g^*} \cdot M\) ersetzt, so sind auch die Elemente von \(E\) paarweise fremd; alle Elemente von \(E\) bis auf höchstens abzählbar viele sind Zerschneidungsmengen von \(M\), und je zwei dieser Elemente werden durch nicht abzählbar viele Elemente von \(E\) voneinander getrennt. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Zerschneidungsmengen eines Kontinuums \(M\) behandelt. Alle hierher gehörigen Sätze ergeben sich aus den früheren Resultaten mit Hilfe des folgenden Satzes: Ein Kontinuum \(M\) kann keine nicht abzählbare Menge \(G\) von paarweise fremden, zusammenhängenden Teilmengen von \(M\) enthalten von der Eigenschaft, daß jedes Element \(g\) von \(G\) eine kompakte echte Teilmenge besitzt, die \(M\) zerlegt, -- wenn daher \(G_0\) eine nicht abzählbare Menge von paarweise fremden zusammenhängenden Teilmengen von \(M\) ist, von denen jede eine kompakte Zerschneidungsmenge von \(M\) enthält, so gibt es eine Teilmenge \(G_0^*\) von \(G_0\), die alle Elemente von \(G_0\) bis auf höchstens abzählbar viele enthält und folgende Eigenschaften besitzt: \ (1) \ Jedes Element \(g_0^*\) von \(G_0^*\) ist ein kompaktes Kontinuum und eine irreduzible Zerscnneidungsmenge von \(M\); \(g_0^*\) ist eine Komponente von \(M- (T-g_0^*)\), wobei \(T\) die Vereinigungsmenge aller Elemente von \(G^*\) bezeichnet; \ (2) \ \(G_0^*\) ist ``upper semi-continuous'' (vgl. \textit{Moore} 1925; F. d. M. 51, 464 (JFM 51.0464.*)-465); \ (3) \ eine analoge Eigenschaft wie die Menge \(E\) (s. oben). Der letzte Teil der Arbeit enthält eine Verallgemeinerung des \textit{Menger}schen Begriffes der Ordnung eines Punktes auf kompakte Zerschneidungskontinua von \(M\). Mit abzählbar vielen Ausnahmen sind alle Kontinua der Menge \(G_0^*\) (s. oben) von der Ordnung 2. Ferner wird der Begriff eines ``Zerschneidungskontinuums im Kleinen'' definiert, in Analogie zu \textit{Urysohn}s ``unvermeidbaren Punkten'' (1927; F. d. M. 53, 556 (JFM 53.0556.*)-557) und \textit{Moore}s ``junction points'' (1928; F. d. M. 54, 630 (JFM 54.0630.*)). Damit werden Beziehungen zur \textit{Menger}schen Kurventheorie hergestellt.