Local separating points of continua. (Q1435162)

\(M\) sei ein Kontinuum in einem im Kleinen kompakten, separablen, metrischen Raum. Ein Punkt \(P\) von \(M\) heißt ein ``lokal zerlegender Punkt'' (local separating point), wenn es eine kompakte Umgebung \(R\) von \(P\) gibt, so daß die Komponente \(C\) von \(M\bar R\), die \(P\) enthält, durch \(P\) in zwei nicht leere Mengen zerlegt wird, von denen keine einen Häufungspunkt der ändern enthält. (Zu unterscheiden ist hiervon der Begriff des ``Zerschneidungspunktes im Kleinen'', der vom Verf. in einer ändern Arbeit (vgl. vorstehendes Referat) eingeführt worden ist.) Ist \(R\) eine offene Menge, so heißt \(P\) ein ``lokal zerlegender Punkt von \(M\) rel. \(R\)'', wenn \(R\) die in der Definition des lokal zerlegenden Punktes ausgesprochenen Eigenschaften hat. Die Definition der lokal zerlegenden Punkte kann analog auf ``lokal zerlegende Kontinua'' ausgedehnt werden. Ein einleitender Paragraph enthält eine Untersuchung der Eigenschaften lokal zerlegender Punkte. Folgende Klassen von Punkten sind lokal zerlegende Punkte von \(M\): \ (a) \ alle Zerschneidungspunkte von \(M\); \ (b) \ alle Punkte von \(M\), die als isolierte Punkte einer irreduziblen Zerschneidungsmenge von \(M\) oder einer zwischen zwei Punkten irreduziblen Zerschneidungsmenge von \(M\) angehören; \ (c) \ alle Punkte von \(M\), die Zerschneidungspunkte einer zusammenhängenden offenen Teilmenge von \(M\) sind; \ (d) \ alle Punkte von \(M\), die Zerschneidungspunkte und rel. \(M\) innere Punkte einer zusammenhängenden Teilmenge von \(M\) sind; \ (e) \ Zerschneidungspunkte im Kleinen von \(M\), in denen \(M\) zusammenhängend im Kleinen ist; \ (f) \ Punkte von \(M\), die von wenigstens zwei Komplementärgebieten von \(M\) erreichbar sind (für ein in der Ebene gelegenes \(M\)). Jeder lokal zerlegende Punkt ist ein Zerschneidungspunkt im Kleinen; für stetige Kurven sind diese beiden Eigenschaften identisch. Bis auf höchstens abzählbar viele Ausnahmen sind alle lokal zerlegenden Punkte von \(M\) Punkte der Ordnung 2 (im \textit{Menger}schen Sinne). \(H\) sei irgendeine nicht abzählbare Menge von lokal zerlegenden Punkten von \(M\), \(\varepsilon\) eine positive Zahl. Dann gibt es Punkte \(A\), \(B\) von \(M\), eine zusammenhängende offene Teilmenge \(R\) von \(M\) und eine nicht abzählbare Teilmenge \(E\) von \(H\) mit folgenden Eigenschaften: \ (1) \ \(A + B\) ist die Grenze von \(R\) rel. \(M\); \ (2) \ der Durchmesser von \(R\) ist kleiner als \(\varepsilon\) \ (3) \ jeder Punkt von \(E\) ist Zerschneidungspunkt von \(\bar R\) und trennt \(\bar R\) zwischen \(A\) und \(B\); \ (4) \ \(M\) wird durch jedes Punktepaar von \(E\) zerlegt. Zu den beiden letzten Sätzen existieren Analoga für lokal zerlegende Kontinua.