On regular points of continua and regular curves of at most order \(n\). (Q1435163)

In einer Arbeit (vgl. vorstehendes Referat) hat Verf. den Begriff eines ``lokal zerlegenden Punktes'' (local seperating point) eines Kontinuums eingeführt. Hier wird folgende damit zusammenhängende Zerlegungseigenschaft eines Punktes definiert: ein Punkt \(P\) zerlegt eine Teilmenge \(N\) eines Kontinuums \(M\) lokal in \(M\), wenn es eine kompakte Umgebung \(G\) von \(P\) gibt, so daß für jede in \(G\) enthaltene Umgebung \(R\) von \(P\) die Menge \(M \cdot \bar R\) durch \(P\) zwischen zwei Punkten von \(N \cdot R\) zerlegt wird. Verf. beweist zunächst folgenden Satz: Wenn für eine abgeschlossene Teilmenge \(N\) von \(M\) eine Zahl \(n\) existiert, so daß die Menge \(K\) aller Punkte von \(N\), deren (\textit{Menger}sche) Ordnung in \(M\) höchstens \(n\) ist, und die \(N\) in \(M\) lokal zerlegen, in \(N\) dicht ist, so sind die Punkte, die in \(M\) eine Ordnung \(\leqq \dfrac n2 + 1\) haben, in \(N\) dicht. -- Setzt man darin \(N = M\), so sind die lokal zerlegenden Punkte von \(M\) in \(K\) enthalten (aber nicht notwendig mit dieser Menge identisch), und man erhält einen entsprechenden Satz für diese Punkte. -- Es folgen ähnliche Sätze für \textit{Menger}sche reguläre Kurven. Als Folgerung ergibt sich unmittelbar: die einfach geschlossene Kurve ist das einzige Kontinuum endlicher Ordnung, dessen sämtliche Punkte die gleiche Ordnung besitzen. Die Menge aller Punkte eines Kontinuums \(M\), die von der Ordnung \(n\), \(n > 2\), sind, enthält kein Kontinuum. Ist \(M\) eine reguläre Kurve höchstens \(n\)-ter Ordnung, so ist die Menge der Punkte, deren Ordnung \(> \dfrac n2 + 1\) ist, nulldimensional. Wenn jede maximale zyklische Kurve einer Kurve \(M\) eine reguläre Kurve von einer Ordnung \(\leqq 3\) ist, so enthält jede zusammenhängende Teilmenge von \(M\) eine perfekte Teilmenge von lokal zerlegenden Punkten von \(M\). Dieses Resultat ist deshalb interessant, weil nach einer Bemerkung von \textit{Knaster} und \textit{Kuratowski} (1927; F. d. M. 53, 564 (JFM 53.0564.*)) die \textit{Sierpiński}sche Kurve, die von der Ordnung vier ist, eine zusammenhängende Teilmenge enthält, die keine perfekte Teilmenge besitzt.