Continuous curves in which every arc may be extended. (Q1435173)

In einer früheren Arbeit (vgl. vorstehendes Referat) hat Verf. untersucht, unter welchen Bedingungen jeder einfache Bogen einer stetigen Kurve in einem maximalen einfachen Bogen enthalten ist. In vorliegender Arbeit stellt sich Verf. die Aufgabe, diejenigen Kurven in der Ebene zu charakterisieren, die die Eigenschaft haben, daß jeder ihrer einfachen Bögen nach beiden Richtungen hin fortgesetzt werden kann. Ein Begriff von grundlegender Bedeutung ist dabei die von \textit{Urysohn} eingeführte \(\varepsilon\)-Abtrennung eines Punktes (Fundamenta 7 (1925), 30-137, besonders S. 65; F. d. M. 51, 451 (JFM 51.0451.*)). \textit{Urysohn} hat bewiesen, daß jeder Punkt einer stetigen Kurve für jedes \(\varepsilon\) durch endlich viele Kontinua \(\varepsilon\)-abgetrennt werden kann. Verf. und \textit{G. T. Whyburn} haben dies Resultat dahin verschärft, daß die \(\varepsilon\)-Abtrennung durch endlich viele stetige Kurven erreicht werden kann (1928; F. d. M. 54, 636 (JFM 54.0636.*)). Verf. zeigt in vorliegender Arbeit, daß im Falle ebener Kurven die \(\varepsilon\)-Abtrennung jedes Punktes durch eine einfach geschlossene Kurve oder durch eine endliche Anzahl einfacher Bögen geleistet wird; wenn in jedem beliebig kleinen Kreis um den Punkt \(P\) dieser Punkt zur gemeinsamen Grenze von genau \(n\) Gebieten gehört, so ist \(n\) die Anzahl der bei der \(\varepsilon\)-Abtrennung von \(P\) auftretenden Bögen. -Ist eine \(\varepsilon\)-Abtrennung von \(P\) durch \(n\), aber nicht weniger als \(n\), paarweise fremde Kontinua in der Weise möglich, daß \(P\) in bezug auf jedes dieser Kontinua zu einem unbeschränkten Komplementärgebiet gehört, so lassen sich diese \(n\) Kontinua durch \(n\) einfache Bögen ersetzen. -- Ist \(B\) die Menge der Punkte, die zur Begrenzung der Komplementärgebiete der Kurve gehören, und ist \(P\) ein nicht zu \(B\) gehöriger Häufungspunkt von \(B\), so kann \(P\) in der Kurve immer durch einen einfachen Bogen \(\varepsilon\)-abgetrennt werden. Auf Grund dieser Sätze beweist Verf.: Notwendig und hinreichend dafür, daß jeder Bogen einer Kurve \(M\) nach beiden Richtungen fortsetzbar sei, ist jede der beiden folgenden Bedingungen: \ (1) \ die Kurve enthält keinen Punkt, der für jedes \(\varepsilon\) durch \textit{eine} azyklische Kurve \(\varepsilon\)-abgetrennt werden kann; \ (2) \ die Menge \(B\) (s. oben) ist abgeschlossen, und jeder Punkt von \(B\) ist entweder Zerschneidungspunkt der Kurve, oder er gehört zur Grenze von wenigstens zwei Komplementärgebieten. Ist umgekehrt jeder einfache Bogen einer Kurve nach beiden Richtungen fortsetzbar, so gehört jeder Punkt der Kurve zur Begrenzung wenigstens eines Komplementärgebietes.