On continua which are disconnected by the omission of any point and some related problems. (Q1435177)

Im Anschluß an eine Arbeit von \textit{J. R. Kline} (1923; F. d. M. 49, 144 (JFM 49.0144.*)) untersucht Verf. Kontinua, die durch jeden ihrer Punkte zerlegt werden. Diese Kontinua haben nach \textit{Kline} (l. c.) u. a. die folgenden Eigenschaften: sie sind (unbeschränkte) Kurven, von denen jeder Punkt einer (unbeschränkten) offenen Teilkurve angehört; Kurven mit dieser Eigenschaft bezeichnet Verf. als Gewebe (web). Ein Gewebe heißt azyklisch, wenn es keine einfach geschlossene Kurve enthält. Der erste Teil der Arbeit enthält die Konstruktion eines azyklischen Universalgewebes in der Ebene, das zu jedem azyklischen Gewebe eine ihm homöomorphe Teilmenge enthält. Der zweite Teil enthält folgenden Satz über die nicht zerlegenden Punkte einer stetigen Kurve im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum: zu jedem die Kurve \(M\) nicht zerlegenden Punkt \(P\) und jeder positiven Zahl \(\varepsilon\) gibt es eine Teilkurve \(N_\varepsilon\) von \(M\) und eine positive Zahl \(\delta_\varepsilon\) von der Eigenschaft, daß der Durchmesser von \(N_\varepsilon\) kleiner als \(\varepsilon\) ist, jeder Punkt einer \(\delta_\varepsilon\)-Umgebung von \(P\) zu \(N_\varepsilon\) gehört und \(M - N_\varepsilon\) zusammenhängend ist. Der dritte Teil der Arbeit bringt charakteristische Eigenschaften der azyklischen Gewebe in der Ebene. Dafür, daß eine stetige Kurve \(M\) ein azyklisches Gewebe sei, ist jede der folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend: \ (1) \ die Komplementärmenge jedes eigentlichen Teilkontinuums von \(M\) in \(M\) ist unbeschränkt; \ (2) \ die Komplementärmenge jedes eigentlichen Relativgebietes von \(M\) ist unbeschränkt; \ (3) jedes beschränkte Teilkontinuum zerlegt \(M\); \ (4) \ jedes beschränkte Relativgebiet von \(M\) zerlegt \(M\); \ (5) \ \(M\) ist nirgends dicht und die Grenze jedes Komplementärgebietes von \(M\) ist eine offene Kurve. Dafür, daß ein ebenes Kontinuum \(M\) ein azyklisches Gewebe sei, ist jede der folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend: \ (1) \ jeder Punkt von \(M\) ist von zwei unbeschränkten Komplementärgebieten von \(M\) erreichbar; \ (2) \ \(M\) ist nirgends dicht, die Begrenzung jedes Komplementärgebietes von \(M\) ist eine offene Kurve und jede einfach geschlossene Kurve enthält in ihrem Inneren nur Punkte aus endlich vielen Komplementärgebieten von \(M\). Bedingungen dafür, daß eine unbeschränkte stetige Kurve ein Gewebe sei, hat Verf. schon in einer früheren Arbeit (1928; F. d. M. 54, 638 (JFM 54.0638.*)) angegeben. Das maximale Gewebe einer stetigen Kurve \(M\) ist die Gesamtheit aller Punkte \(P\) von \(M\), die auf einer offenen Teilkurve von \(M\) liegen. Das maximale Gewebe einer Kurve \(M\) ist eine stetige Kurve. Bedingungen dafür, daß eine Teilkurve oder ein Teilgewebe von \(M\) das maximale Gewebe sei, ergeben sich aus Sätzen von \textit{Whyburn} (1927; F. d. M. 53, 572 (JFM 53.0572.*)). Ferner werden Bedingungen dafür abgeleitet, daß das maximale Gewebe von \(M\) nicht leer sei. Bezeichnet \(x\) einen Zerschneidungspunkt von \(M, \;M_x\) die Vereinigungsmenge von \(x\) und den unbeschränkten Komponenten von \(M - x\), so ist das maximale zyklische Gewebe der Durchschnitt aller \(M_x\), wobei \(x\) alle Zerschneidungspunkte von \(M\) durchläuft. Die Arbeit schließt mit folgendem Problem: Unter welchen Bedingungen enthält eine Kurve \(M\) ein (maximales) azyklisches Gewebe, das in keinem ändern azyklischen Gewebe von \(M\) enthalten ist?