Some properties of multi-coherent continua. (Q1435182)

Für die Definition des multikohärenten Kontinuums s. \textit{Kuratowski} (1928; F. d. M. 54, 627 (JFM 54.0627.*)). Verf. untersucht die Zerlegung eines multikohärenten Kontinuums \(M\) durch Teilkontinua und den Aufbau von \(M\) aus gewissen zwischen Teilmengen von \(M\) irreduziblen Kontinua. In Verbindung mit früheren Resultaten des Verf. (1927; F. d. M. 53, 571 (JFM 53.0571.*)-572) ergeben sich Sätze über die Zerlegung der Ebene durch ein multikohärentes Kontinuum. Von den Resultaten der vorliegenden Arbeit seien folgende genannt: \(M\) sei ein beschränktes multikohärentes Kontinuum, \(A\) und \(B\) zwei Teilkontinua von \(M\), so daß \(A \cdot B = 0\) ist und \(M\) durch \(A + B\) zerlegt wird. Dann besteht \(K=M-(A + B)\) aus genau zwei Komponenten; die abgeschlossene Hülle \(K\) ist Vereinigungsmenge zweier zwischen \(A\) und \(B\) irreduzibler Kontinua, deren Durchschnitt zu \(A+ B\) gehört. -Sind \(A\) und \(B\) beide nicht Häufungskontinua von \(M\), so folgt aus \(A \cdot B = 0\) bereits, daß \(M\) durch \(A + B\) zerlegt wird; auch die genannten Resultate lassen sich dann etwas verschärfen. Für die Struktur von \(M\) ist folgende Unterscheidung von Bedeutung: \ (1) \ die Kontinua \(A, B\) (\(A \cdot B = 0\), \(A + B\) zerlegt \(M\)) können so gewählt werden, daß entweder beide Häufungskontinua von \(M\) sind oder keines; \ (2) \ von den beiden Kontinua \(A, B\) ist stets das eine Häufungskontinuum, das andere nicht. Im ersten Falle ist \(M\) die Vereinigungsmenge zweier Kontinua, deren Durchschnitt die Summe zweier abgeschlossener Mengen ist, zwischen denen beide Kontinua irreduzibel sind. Liegt \(M\) in der Ebene, so ist \(M\) die gemeinsame Grenze von genau zwei seiner Komplementärgebiete. Im zweiten Falle ist die Struktur von \(M\) nicht eindeutig bestimmt. Ähnliche Sätze werden aufgestellt für den Fall, daß die Mindestzahl der zusammen \(M\) zerlegenden, paarweise fremden Teilkontinua von \(M\) größer als zwei ist.