Vorlesungen über darstellende Geometrie. Bd. II: Die Zyklographie. Aus dem Nachlaß herausgegeben von \textit{J. L. Krames}. (Q1435386)

Unter einer zyklographischen Abbildung (z. A.) wird eine gewisse eineindeutige Abbildung der orientierten Kreise (``Zykeln'') einer Ebene \(\varPi\) auf die Punkte des Raumes verstanden. Der Radius des Zykels wird positiv oder negativ gerechnet, je nachdem die Orientierung des Kreises positiv oder negativ ist, und als ``Kote'' \(\mathfrak p\) senkrecht zur Ebene \(\varPi\) im Mittelpunkt \(p'\) des Zykels, und zwar entsprechend dem Vorzeichen nach der positiven oder negativen Seite von \(\varPi\) hin, abgetragen; der so entstehende Raumpunkt \(p\) ist das Bild des Zykels mit dem Mittelpunkt \(p'\) und dem Radius \(\mathfrak p\). Da nach der Auffassung des Verf. ``jede Abbildung, die sich konstruktiv (zeichnerisch, jedoch unter Verwendung beliebiger Zeicheninstrumente) verfolgen läßt, in das Gebiet der darstellenden Geometrie gehört'' -- einer Auffassung, die für die Erneuerung und moderne Weiterentwicklung der darstellenden Geometrie von großer Bedeutung geworden ist --, so hat Verf. mit Recht der Zyklographie den vorliegenden (zweiten) Band seiner ``Vorlesungen über darstellende Geometrie'' gewidmet (Bd. I: 1923; F. d. M. 49, 418). Er folgte dabei dem Vorbilde \textit{Wilhelm Fiedlers}, dem man die erste zusammenfassende Darstellung der Zyklographie verdankt (1882; F. d. M. 14, 500-506); diese hat \textit{Fiedler} dann zwei Jahre später in die dritte Auflage seines Werkes ``Darstellende Geometrie'' (1883-1888; F. d. M. 15, 496 (JFM 15.0496.*)-497; 17, 575-577; 20, 566-567) hineingearbeitet. Grundsätzlich geht aber die vorliegende Darstellung schon deshalb wesentlich über die \textit{Fiedler}sche hinaus, weil sie durchweg mit \textit{orientierten} Gebilden operiert: nicht nur mit Zykeln (orientierten Kreisen), sondern auch mit ``Speeren'' (orientierten Geraden), ``Richtungskurven'' (orientierten Kurven), ``Sphären'' (orientierten Kugeln) usw. Dadurch wird eine tiefere Einsicht in viele geometrische Fragen gewonnen; z. B. zeigt es sich, daß gewisse Berührungstransformationen nur die ``eigentliche'' Berührung orientierter Kurven invariant lassen, d. h. eine Berührung mit gleichen Richtungselementen, nicht aber auch die ``uneigentliche'' Berührung, bei der die Kurven im Berührungspunkt entgegengesetzte tangentielle Speere besitzen. Ferner kommen in der vorliegenden Darstellung die prinzipiellen Gesichtspunkte viel prägnanter zur Geltung als bei \textit{Fiedler}, namentlich durch die eingehende Untersuchung der \(C\)-Geometrie. Und schließlich ist seit \textit{Fiedler} die Literatur über die Zyklographie, namentlich durch die Arbeiten des Verf. und seiner Schüler, außerordentlich gefördert worden. Was im einzelnen den Inhalt des vorliegenden Bandes betrifft, bei dem naturgemäß die speziellen darstellend-geometrischen Methoden vor allgemeineren geometrischen Untersuchungen stark in den Hintergrund treten, so ist das erste Kapitel (Zyklographische Abbildung von Punkten, Geraden und Ebenen) der Besprechung der Grundeigenschaften der z. A. gewidmet. Die Hauptgegenstände der ganzen Darstellung kommen aber schon hier zur Geltung: das methodisch wichtige Moment der Übertragung von Sätzen aus einem geometrischen Gebiet in ein anderes, das in Kap. I z. B. für die Behandlung der Ähnlichkeitspunkte nutzbar gemacht wird; alsdann die Untersuchung der Zykelmannigfaltigkeiten, zu denen die z. A. der Punkte einer Kurve oder einer Fläche führt, insbesondere der linearen Zykelreihe (Bild einer Geraden) und der linearen Zykelkongruenz (Bild einer Ebene); schließlich die Vorbereitung der \(C\)-Geometrie durch Einführung derjenigen Kurve zweiter Ordnung \(C\), in der die uneigentliche Ebene von jedem Rotationskegel geschnitten wird, durch den ein in \(\varPi\) gelegener Zykel aus seinem Bildpunkt \(p\) projiziert wird. In Kap. II (Zyklographische Abbildung von \(C\)-Kreisen und \(C\)-Kugeln) werden zunächst das Apollonische Problem, sodann die Kreisbüschel und -bündel zyklographisch behandelt. Die Definitionen des \(C\)-Kreises (\(={} \)eigentliche Kurve zweiter Ordnung, die \(C\) zweipunktig schneidet) und der \(C\)-Kugel (\(={}\)gleichseitiges Rotationshyperboloid mit zu \(\varPi\) normalen Rotationsachsen; Radius des Kehlkreises\({} = {}\)Radius der \(C\)-Kugel, die also einen reellen oder imaginären Radius hat, je nachdem das Hyperboloid einschalig oder zweischalig ist) die hier für die genannten Aufgaben bereits notwendig werden, greifen allerdings der erst in Kap. III erfolgenden systematischen Einführung der \(C\)-Geometrie vor. Ferner sind in Kap. II noch bemerkenswert gewisse Berührungstransformationen, die ``Dilatation'' und vor allem die ``\textit{Laguerre}sche Spiegelung'', eine schon von \textit{Laguerre} allerdings ohne Benutzung der Zyklographie eingeführte, von ihm als ``transformation par directions réciproques'' bezeichnete Speertransformation, deren jetzt gebräuchliche Bezeichnung auf \textit{W. Blaschke} (1910; F. d. M. 41, 728 (JFM 41.0728.*)) zurückgeht. In Kap. III (Die \(C\)-Geometrie und ihre zyklographische Übertragung) wird die \(C\)-Geometrie systematisch entwickelt. Wie sich bekanntlich die euklidische Maßgeometrie als projektive Geometrie bezüglich einer in der uneigentlichen Ebene gelegenen nullteiligen Kurve zweiter Ordnung auffassen läßt, so wird hier die auf der in der uneigentlichen Ebene gelegenen, nicht entarteten, \textit{reellen} Kurve zweiter Ordnung \(C\) als absolutem Kegelschnitt basierende Maßgeometrie, die \(C\)-Geometrie, entwickelt, nachdem die Einsicht in ihre Bedeutung für die Zyklographie bereits in Kap. I und II angebahnt worden ist. Die folgenden Kapitel IV-VIII (IV: Verschiedene Anwendungen der bisherigen Ergebnisse. V: Abbildung der Punkte des Raumes auf die zu \(\varPi\) symmetrischen Punktepaare. Scheingeometrie. VI: Zyklographische Abbildung von Kurven. VII: Verbiegung von Zykelreihen. VIII: Zyklographische Abbildung von Flächen) bringen die weitere Ausarbeitung der in Kap. I-III formulierten Hauptprobleme und Anwendungen der dort entwickelten Ergebnisse. In Kap. IX (Eine Abbildung der Punkte des Raumes auf die zu \(\varPi\) normalen Sphären) wird eine mit der z. A. nahe verwandte Abbildung der Punkte des Raumes auf die zu \(\varPi\) normalen Sphären behandelt; bei dieser Abbildung wird dem Raumpunkt \(p\) diejenige Sphäre zugeordnet, die den Bildzykel von \(p\) zum Äquatorkreis hat, und je zwei in bezug auf \(\varPi\) diametralen Punkten dieselbe Kugel mit verschiedenen Orientierungen. Diese Abbildung ist, wie alsdann gezeigt wird, eine räumliche Berührungstransformation. In Kap. X (Zyklographische Abbildung in der Ebene) geht Verf. davon aus, daß man die z. A. auf Räume beliebiger Dimension übertragen kann, indem man den \((n-1)\)-dimensionalen Sphären des \(R_n\) eineindeutig die Punkte des \(R_{n+1}\) zuordnet. In einem Anhang werden schließlich einige andere Verallgemeinerungen der z. A. angedeutet. Diese Übersicht über den Inhalt des Werkes muß sich damit begnügen, einige der leitenden Gedanken kurz zu skizzieren; von der Fülle des geometrischen Materials, das hier geboten wird, kann sie allerdings keine Vorstellung vermitteln. Neben \textit{Emil Müller}, dem im September 1927 verstorbenen Verf. des Werkes, ist auch noch der Herausgeber, sein Schüler \textit{J. L. Krames}, zu nennen. \textit{E. Müller} hat nur die die eigentliche Zyklographie behandelnden Hauptteile des Werkes sowie die Kap. IX und X im Manuskript vollständig fertigstellen können; die übrigen Teile des Manuskripts lagen nur in einer Bearbeitung von seiner Hand vor, die für jeden einzelnen Abschnitt unabhängig von der der übrigen war und eine Gliederung des Stoffs noch nicht berücksichtigt hatte. Außerdem fand sich in seinem Nachlaß eine große Zahl von Randbemerkungen und Notizen vor, die -- teils als Erweiterungen, teils als Abänderungen gedacht -- die endgültige Fassung mit bestimmen sollten. Der Herausgeber hat die Verwertung dieser Noten für den Text besorgt, in den Kap. IV-VIII die endgültige Anordnung des Stoffes vorgenommen, zu den Kap. IV-X auf Grund stenographischer Notizen des Verstorbenen die Übungsaufgaben zusammengestellt (jedes Kapitel des Werkes enthält ein reichhaltiges Übungsmaterial, das zu Kap. I-III noch von \textit{E. Müller} selbst ausgearbeitet worden ist) und einen großen Teil der Textfiguren des Werkes ausführen lassen. (V 1, V 5 A, V 6 C.)